Grenzwertuntersuchungen die mathematische Grundlage. Allerdings sind diese im Mehrdimensionalen mitunter ein wenig trickreicher: Es gibt schon im Zweidimensionalen unendlich viele Richtungen, aus denen Sie sich einem Punkt nähern können. Dadurch entstehen unter Umständen im Mehrdimensionalen Situationen, die im Eindimensionalen nicht vorkommen können. Außerdem ist es oft viel schwieriger, sich eine Situation im Mehrdimensionalen anschaulich vorzustellen. In diesem Abschnitt erkläre ich Ihnen, was Funktionen mehrerer Veränderlicher sind, in welchen Situationen eine graphische Darstellung möglich ist und wie die analytischen Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen einer Variablen auf Funktionen mehrerer Variablen übertragen werden.
Viele Variablen und ein Funktionswert
Die einfachsten Beispiele für Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen, sind lineare Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Vektorräumen. Solche Abbildungen werden in der linearen Algebra untersucht, nachzulesen in den ersten beiden Teilen des ersten Buches »Mathematik für Ingenieure I für Dummies«. Die Analysis beschäftigt sich dagegen hauptsächlich mit nichtlinearen Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Räumen.
Erste Beispiele dazu sind Funktionen, die mehreren Variablen eine Zahl als Funktionswert zuordnen.
Ein Beispiel: Die Van der Waalsche Zustandsgleichung für ein reales Gas beschreibt den Gasdruck in Abhängigkeit von Temperatur und Molvolumen:
Dabei steht
Der Druck
Eine reellwertige Funktion von
Die Menge
Die Reihenfolge der Variablen
und
formal zwei verschiedene Funktionen, beide stellen aber den Gasdruck dar und