rel="nofollow" href="#fb3_img_img_0abb4dfc-7c0e-5f89-bcaa-8c3c6eff5af2.png" alt="upper I"/> differenzierbar, falls an jeder Stelle differenzierbar ist. Die Funktion mit
heißt Ableitung der Funktion .
Die Ableitung einer Funktion hat eine anschauliche geometrische Bedeutung: Betrachten Sie die in Abbildung 1.4 dargestellte Gerade durch die beiden Punkte und .
Abbildung 1.4: Die Gerade
durch die beiden Punkte
und
Der Differenzenquotient entspricht gerade der Steigung der Geraden . Wenn Sie den Grenzübergang durchführen, erhalten Sie die Gerade mit:
Das ist die Tangente zum Graphen der Funktion an der Stelle .
Die Ableitung entspricht also der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt und wird daher auch Steigung der Funktion an der Stelle genannt.
Natürlich können Sie auch bei einer Ableitung fragen, ob diese wieder differenzierbar ist. Und falls dies so ist, auch für die Ableitung der Ableitung und so weiter. Das rechtfertigt die folgende Definition der n-ten Ableitung.
Unter der Voraussetzung, dass die Funktion
und die entsprechenden Ableitungsfunktionen von
jeweils differenzierbar sind, bezeichnet man:
Allgemein:
Dabei heißt die -te Ableitung von .
Eine Funktion heißt -mal differenzierbar, falls ihre -te Ableitung existiert.
Eine Funktion heißt -mal stetig differenzierbar, wenn existiert und stetig ist.
Genau wie für die erste Ableitung gilt auch für die zweite und jede weitere Ableitung einer entsprechend oft differenzierbaren Funktion , dass diese nicht unbedingt stetig sein müssen.
Globale und lokale Extremstellen
Bei der Untersuchung auf Extremstellen wird zwischen globalen oder lokalen Extremstellen unterschieden. Als globale Extremstellen der Funktion werden die Stellen im Definitionsbereich von bezeichnet, an denen die größten beziehungsweise kleinsten Funktionswerte angenommen werden.
Ist
