Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

       Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erlaubt Ihnen, Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen und umgekehrt Stammfunktionen durch Integrale zu berechnen:

      Für jede auf einem Intervall stetige Funktion und jedes gilt:

       Existenz von Stammfunktionen: Die Funktionmit ist eine Stammfunktion zu auf .

       Eindeutigkeit: Jede andere Stammfunktion zu hat die Form mit einer Konstanten .

       Integralberechnung: Ist eine beliebige Stammfunktion zu , so gilt für :

      Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung haben Sie also eine Methode, um entweder Flächen unterhalb des Graphen einer gegebenen Funktion oder Stammfunktionen von zu bestimmen, vorausgesetzt, Sie können das Integral über die Funktion berechnen.

Anstatt die Grenzwertdefinition des Integrals direkt zu verwenden, werden Sie üblicherweise zur Integration einer gegebenen Funktion eine andere Integrationsmethode verwenden. Die beiden wichtigsten Methoden zur Integration sind die partielle Integration und die Substitutionsformel.

      Die partielle Integration wird aus der Produktregel der Differentiation abgeleitet.

       Gilt für die differenzierbaren Funktionen und , dass das Produkt integrierbar ist, dann ist auch das Produkt integrierbar, und es gilt die Formel:

      Bei der Substitution hilft die Kettenregel der Differentiation. Für die bestimmte Integration, die Flächenberechnung, müssen Sie dabei auch die Grenzen der Integrale beachten.

       Die Substitutionsformel der bestimmten Integration lautet:

      Eine zweite Form der Substitutionsregel ist ebenfalls oft nützlich.

       Eine wichtige Variante der Substitutionsformel:

      Es sei und die umkehrbare Funktion mit nicht verschwindender Ableitung und Umkehrfunktion und und gegeben.

      Hat auf eine Stammfunktion , dann ist auf eine Stammfunktion von , und es gilt:

      Kapitel 2

      Grundlagen der Differentialrechnung im

      IN DIESEM KAPITEL

       Funktionen mehrerer Variabler betrachten

       Was Stetigkeit im Mehrdimensionalen bedeutet

       Mehrdimensionale Funktionen ableiten

       Höhere Ableitungen für Funktionen mehrerer Variablen bestimmen

Die mathematische Beschreibung der realen Welt ist eine wichtige Aufgabe der Naturwissenschaften und Grundlage für technische Anwendungen. Die Welt um uns herum ist offensichtlich mehrdimensional: Schon für eine einfache Ortsangabe brauchen Sie nicht nur eine einzige Variable, sondern drei Ortskoordinaten. Um naturwissenschaftliche oder technische Phänomene, wie zum Beispiel den Druck in einer dahinströmenden Flüssigkeit oder die Temperaturverteilung in einem Raum, mathematisch zu beschreiben, reichen Funktionen einer einzigen Variablen nicht aus: Nicht nur räumliche Verteilungen, sondern auch die meisten naturwissenschaftlichen Größen hängen von mehr als einem Parameter ab. Dieses Kapitel liefert eine Einführung in die Analysis zu Funktionen mehrerer Variabler.

Unsere Welt ist mehrdimensional

      Genau wie bei Funktionen von einer Variablen ist für Funktionen mehrerer Variablen das Änderungsverhalten sehr interessant. Wie im eindimensionalen