Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

suchen Sie dabei eine Funktion , eine sogenannte Stammfunktion, die als Ableitung die Funktion besitzt. Diese Form der Integration wird auch unbestimmte Integration genannt.

Sind und auf dem Intervall definierte Funktionen, so heißt eine Stammfunktion zu , wenn für alle

      gilt.

      Wahrscheinlich ist allerdings die andere Sichtweise der Integralrechnung die, die Sie zuerst kennengelernt haben: die Flächenberechnung unterhalb des Graphen einer gegebenen Funktion. Diese Sichtweise liegt der Integraldefinition als Grenzwert Riemannscher Summen zugrunde.

      

Eine Riemannsche Summe zu einer gegebenen Funktion auf dem Intervall und einer Unterteilung in Teilintervalle für durch gegebene Punkte

      ist eine Summe

      mit Zwischenpunkten . Eine solche Unterteilung des Intervalls in lauter Teilintervalle wird Zerlegung von genannt. Die Feinheit einer Zerlegung ist die maximale Länge eines Teilintervalls der Zerlegung.

Eine Riemannsche Summe ist also nichts anderes als eine Näherung an die Fläche unter dem Graphen von durch viele kleine Rechtecke der Breite und Höhe , wie Sie in Abbildung 1.5 dargestellt ist.

Abbildung 1.5: Approximation der Fläche

durch Rechtecksflächen

Falls alle möglichen Riemannschen Summen für immer kleinere Feinheiten der zugrunde liegenden Zerlegung gegen ein und denselben festen Wert konvergieren, dann erhalten Sie damit das Integral der Funktion .

      

Es sei eine auf dem Intervall beschränkte Funktion mit für alle .

      Konvergieren für alle Folgen von Zerlegungen mit und eine beliebige Auswahl von Zwischenpunkten die Riemannschen Summen gegen einen gemeinsamen Grenzwert , dann heißt integrierbar auf [a,b], und die Zahl heißt bestimmtes Integral über im Intervall [a,b]. In Formeln:

      Überraschend ist der Zusammenhang zwischen der Differentialrechnung und der zunächst rein geometrisch definierten Integralrechnung. Sie erhalten mit der Flächenberechnung gleichzeitig eine Umkehrung der Differentiation.

      Diese Tatsache heißt in der reellen Analysis der Hauptsatz