Grenzwerte reellwertiger Funktionen und Stetigkeit
Für die eindimensionale Analysis sind oft Grenzwerte von Funktionen interessant. Vergleichen Sie beispielsweise die beiden Graphen in Abbildung 1.3, dann stellen Sie sofort einen prinzipiellen Unterschied fest: An der Stelle springt die linke Funktion, während der Graph der rechten Funktion dort durchgehend weiterverläuft.
Abbildung 1.3: Eine unstetige (links) und eine stetige Funktion (rechts)
Etwas mathematischer formuliert geht es hier um die Frage, wie sich die Folge der Funktionswerte verhält, wenn eine Folge reeller Zahlen mit Grenzwert ist. Dies führt zum Begriff der Stetigkeit eindimensionaler Funktionen.
Eine Funktion mit Definitionsbereich konvergiert an einer Stelle gegen den Wert , falls für jede Folge reeller Zahlen aus dem Definitionsbereich von mit die Folge der Funktionswerte gegen konvergiert:
Für den Grenzwert der Funktion schreibt man:
In dieser Definition sind auch die Spezialfälle beziehungsweise eingeschlossen.
Die Stelle muss nicht im Definitionsbereich von liegen. Allerdings muss ein Häufungspunkt von sein, damit überhaupt Folgen von Elementen aus dem Definitionsbereich von existieren, die gegen die Zahl konvergieren. Das bedeutet, dass entweder ein innerer oder ein Randpunkt von sein muss.
Ein Punkt aus dem Rand einer Menge heißt ein Randpunkt von. Es gilt daher, dass in jeder Umgebung mindestens ein Punkt und ein Punkt liegen. Dabei muss der Punkt nicht unbedingt selbst aus der Menge sein.
Bei der Grenzwertdefinition für Funktionen ist es wichtig, dass alle möglichen Folgen mit Grenzwert untersucht werden. Bekommen Sie für verschiedene solcher Folgen verschiedene Grenzwerte der Funktionswertfolgen
