Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

      

Die Zahl wird Rang der Matrix genannt.

      In den ersten Zeilen ist dies ein gestaffeltes Gleichungssystem. Hier stehen »Leerzeichen« für die Null und und für irgendwelche Zahlen. Ist , dann treten in der neu erhaltenen Matrix reine Nullzeilen auf, während auf der neuen rechten Seite in diesen Zeilen eventuell auch andere Zahlen auftauchen können.

Für die Lösbarkeit des LGS gilt:

       Nicht lösbar, falls die Zahlen nicht alle gleich null sind.

       Nicht eindeutig lösbar, falls ist, das heißt, falls alle sind. Die Unbekannten können frei gewählt werden. Die restlichen Unbekannten ergeben sich dann eindeutig aus den frei gewählten Unbekannten.

       Eindeutig lösbar, falls ist. Die Lösung erhalten Sie durch Rückwärtslösen.

      Eigenwerte, Eigenvektoren und die Definitheit von Matrizen

      Wie im Abschnitt »Ganz sicher: Hinreichende Optimalitätsbedingung« aus Kapitel 5 dargestellt wird, spielt bei der Untersuchung auf Extremstellen mehrdimensionaler Funktionen die Definitheit von symmetrischen Matrizen eine ähnlich wesentliche Rolle wie das Vorzeichen der zweiten Ableitung für eindimensionale Funktionen.

      

Eine symmetrische -Matrix heißt:

       positiv semidefinit, falls für alle ,

       positiv definit, falls für alle ,

       negativ semidefinit, falls für alle ,

       negativ definit, falls für alle ,

       indefinit in allen anderen Fällen.

      Anhand der Definition ist die Definitheit einer gegebenen Matrix meistens nicht so einfach zu erkennen. Es gibt aber einige Berechnungsmethoden dazu, mit deren Hilfe Sie eine gegebene Matrix auf Definitheit prüfen können. Die zuverlässigste Methode verwendet dazu die Eigenwerte der Matrix.

      

Für eine gegebene -Matrix werden beim Eigenwertproblem ein Vektor und ein gesucht, sodass

      ist. Ein solches heißt Eigenwert von . Jeder Vektor , der die obige Gleichung mit erfüllt, heißt Eigenvektor von zum Eigenwert .

      

Die Gleichung heißt die charakteristische Gleichung von .

Das Polynom heißt das charakteristische Polynom der Matrix .

Die Lösungen der charakteristischen Gleichung einer -Matrix und damit die Eigenwerte von sind nichts anderes als die Nullstellen des charakteristischen