Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

Analysis, gewöhnliche Differentialgleichungen, Funktionentheorie, stochastische Prozesse – das alles klingt nach fortgeschrittener Mathematik. Und das ist es auch. Die Themen dieses Buchs bauen auf mathematischen Methoden aus der linearen Algebra und der eindimensionalen Analysis auf. Naturgemäß können nicht alle Grundlagen ausführlich erläutert werden: Das Buch hätte dann mindestens den doppelten Umfang. Ich gehe daher davon aus, dass Sie den größten Teil der benötigten Grundlagenmathematik schon kennen. Dazu gehören die Grundbegriffe der mathematischen Sprache, neben den üblichen Rechensymbolen auch die logischen Zeichen für »es existiert« und für »für alle«, das Zahlensystem der reellen Zahlen mit den darin enthaltenen natürlichen Zahlen , den ganzen Zahlen und den rationalen Zahlen und die darauf aufbauende Vektorrechnung in den -dimensionalen Vektorräumen oder die eindimensionale Analysis.

      Keine Panik! Die für dieses Buch wichtigsten Begriffe und Methoden aus diesen Bereichen werde ich in diesem Kapitel kurz erläutern. Falls Sie darüber hinaus neugierig geworden sind, wie das alles im Detail aussieht, können Sie das zum Beispiel im ersten Band »Mathematik für Ingenieure 1 für Dummies« nachlesen.

Grundlagen aus der linearen Algebra

Das Rechnen mit Vektoren und Matrizen spielt für die mehrdimensionale Analysis eine ähnliche Rolle wie die Grundrechenarten für die eindimensionale Analysis. Anstelle der reellen Zahlen aus treten hierbei Vektoren als Variablen und Funktionswerte auf, und bei der Klassifizierung von Extremstellen helfen Ihnen bestimmte Eigenschaften von Matrizen weiter. Die bei der Optimierung häufig auftretenden, oft sehr schwierig zu lösenden nichtlinearen Gleichungssysteme können Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens durch die Lösungen linearer Gleichungssystemen zumindest approximieren. Grund genug, diese Grundlagen hier kurz zu wiederholen.

      Vektor- und Matrizenrechnung

      In diesem Buch werden überwiegend die beiden reellen Vektorräume und auftreten, die gleichwertig entweder als zwei- beziehungsweise dreidimensionale Spaltenvektorräume oder als zwei- oder dreidimensionale Zeilenvektorräume aufgefasst werden.

      Zwischen Spaltenvektoren

      und Zeilenvektoren können Sie mit Hilfe der Transposition umschalten. Die mit einem hochgestellten bezeichnete Transposition vertauscht Zeilen mit Spalten:

       Spaltenvektoren (und analog Zeilenvektoren) werden komponentenweise addiert:

      Die Vektoraddition ist kommutativ und assoziativ.

      Jeden reellen Vektor können Sie mit einer beliebigen reellen Zahl skalar multiplizieren. Die skalare Multiplikation wird ebenfalls komponentenweise durchgeführt:

      Vektoraddition und skalare Multiplikation werden auch für reelle Zeilenvektoren komponentenweise definiert.

Mit Hilfe des Standardskalarprodukts können Sie Winkel zwischen zwei Vektoren

      definieren und die euklidische Norm oder Länge eines Vektors bestimmen.

      

Für beliebige Vektoren heißt die reelle Zahl

      das Standardskalarprodukt der Vektoren und . Eine häufig verwendete Kurzschreibweise für das Skalarprodukt ist

      Die euklidische Norm eines Vektors ist durch