Das Standardskalarprodukt der Spaltenvektoren können Sie als ein besonderes Matrizenprodukt interpretieren: Betrachten Sie die beiden Spaltenvektoren
als -Matrizen und definieren Sie zum Spaltenvektor den Zeilenvektor , eine einzeilige und -spaltigen Matrix. Das Skalarprodukt ist dann das Matrizenprodukt aus der -Matrix und der -Matrix .
Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Verfahren
Lineare Gleichungssysteme, kurz LGS, treten bei vielen mathematischen Fragestellungen auf. Beispielsweise müssen Sie beim in Kapitel 4 behandelten Newton-Verfahren zur Approximation von Nullstellen einer mehrdimensionalen Funktion in jedem Schritt ein LGS lösen. Ein LGS können Sie formal als
mit der Systemmatrix , dem gesuchten Vektor und dem Vektor der rechten Seite schreiben. Die meisten LGS, die in diesem Buch vorkommen werden, sind quadratische LGS, das heißt: . Die Systemmatrix ist also quadratisch, und die beiden Vektoren und gehören demselben Vektorraum an.
Determinanten
Manchmal empfiehlt es sich, ein LGS zuerst auf Lösbarkeit zu untersuchen, bevor Sie versuchen, die Lösung zu berechnen. Dies können Sie für quadratische LGS beispielsweise mit Hilfe der sogenannten Determinante der Systemmatrix machen. Die eigentliche mathematische Definition der Determinanten ist etwas kompliziert, allerdings reicht es aus, eine Berechnungsvorschrift für Determinanten anzugeben.
Für eine quadratische Matrix mit
heißt die Zahl
die Determinante von. Für eine Matrix ist
Determinanten für Matrizen mit mehr als drei Zeilen und Spalten berechnen Sie mit Hilfe des sogenannten Laplaceschen Entwicklungssatzes über die Kofaktoren bestimmter Matrixkomponenten.
Ist eine quadratische Matrix mit Zeilen und Spalten, dann heißt die quadratische Matrix mit Zeilen und Spalten, die aus durch Streichen der -ten Zeile und der -ten Spalte entsteht, die Untermatrix.
