Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

      definiert.

      Den Winkel zwischen den beiden Vektoren bestimmen Sie aus dem Skalarprodukt der beiden Vektoren mit einer einfachen Formel.

       Der Winkel zwischen den beiden Vektoren und aus lässt sich nach der Formel

      bestimmen.

      Das Vektorprodukt

      Für die Darstellung von Flächenintegralen werden in Kapitel 8 einige Eigenschaften des Vektor- oder Kreuzprodukts zweier Vektoren benötigt.

       Für zwei Vektoren

heißt der durch

      definierte Vektor das Vektor- oder Kreuzprodukt von und .

      Für Kreuzprodukte gelten die folgenden Rechenregeln:

       

        für beliebige Zahlen

       Zwei Vektoren und sind genau dann linear abhängig, wenn das Kreuzprodukt ergibt.

       Für drei Vektoren gelten:

       Das Kreuzprodukt ist antisymmetrisch, das heißt: .

       Das Assoziativgesetz ist für das Vektorprodukt im Allgemeinen nicht erfüllt!

       Das Kreuzprodukt ist orthogonal zu und zu .

       Sind und linear unabhängig, so bilden und eine positiv orientierte Basis.

       

      Ist der Winkel zwischen den beiden linear unabhängigen Vektoren , dann gilt:

      Die Länge des Kreuzprodukts entspricht also dem Flächeninhalt des durch und aufgespannten Parallelogramms.

      Das Spatprodukt

Drei beliebige Vektoren des spannen einen Spat auf. Dieser Körper ähnelt einem schiefen Backstein, ein Beispiel ist in Abbildung 1.1 dargestellt. Für die drei Vektoren und heißt die durch definierte reelle Zahl das Spatprodukt aus und .

      Der Absolutbetrag entspricht dem Volumen des Spats.

      Neben den Vektoren sind reelle -Matrizen mit Zeilen und Spalten weitere mathematische Objekte aus der linearen Algebra, die bei der mehrdimensionalen Analysis eine wichtige Rolle spielen.

Abbildung 1.1: Ein Spat oder Parallelepiped, das durch die drei Vektoren und aufgespannt wird

Matrizen können Sie als Vektoren auffassen, und genau wie bei Spalten- oder Zeilenvektoren können Sie auch Matrizen derselben Dimension komponentenweise addieren oder mit einer reellen Zahl multiplizieren. Zwei Matrizen, bei denen die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmt, können Sie nach der folgenden Definition auch miteinander multiplizieren.

      

Ist eine reelle -Matrix und eine reelle