Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

Zur Bestimmung der Definitheit einer symmetrischen Matrix betrachten Sie die Eigenwerte dieser Matrix. Ist eine symmetrische Matrix mit den Eigenwerten , dann ist :

       positiv semidefinit genau dann, wenn für ,

       positiv definit genau dann, wenn für ,

       negativ semidefinit genau dann, wenn für ,

       negativ definit genau dann, wenn für .

      Die Eigenvektoren zu einem gegebenen Eigenwert einer Matrix berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Verfahrens aus dem Abschnitt »Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Verfahren« zu dem linearen Gleichungssystem

      Dabei entsteht die Matrix dieses Gleichungssystems einfach dadurch, dass Sie in der Diagonale von den Eigenwert abziehen.

       Beim Lösen des Gleichungssystems für die Eigenvektoren dürfen Sie die triviale Lösung, den Nullvektor, nicht als Eigenvektor wählen! Mit dem Gauß-Verfahren müssen Sie allerdings mindestens eine ganze Nullzeile erzeugen können. Das heißt: Es muss mindestens eine eindimensionale Lösungsmenge für dieses System geben. Sie haben also unendlich viele Lösungen als Eigenvektoren zur Wahl.

Eindimensionale Analysis

      Die eindimensionale Analysis beschäftigt sich mit reellwertigen Funktionen einer reellen Variablen . Im Wesentlichen wird das Änderungsverhalten solcher Funktionen untersucht: Wie ändern sich die Funktionswerte , wenn das Argument geändert wird? Solche Untersuchungen werden in der Mathematik mit Hilfe geeigneter Folgen und ihrer Grenzwerte durchgeführt. Dies liefert Begriffe wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit und gibt Ihnen geeignete Methoden zur Extremstellensuche. Selbst der Integralbegriff und Näherungsmethoden wie die Taylorreihenentwicklung beruhen auf Grenzwerten. Folgen und ihr Verhalten bilden die Grundlage der ganzen Analysis und sind damit auch die Grundlage für die erfolgreiche mathematische Beschreibung der Welt. Dies ist auch in der mehrdimensionalen Analysis der Fall, die in den folgenden Kapiteln näher beschrieben wird. Grund genug, hier einen kurzen Überblick über Folgen und Grenzwerte zu geben.

      Folgen, Häufungspunkte und Grenzwerte

      Viele wichtige analytische Begriffe wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind über Grenzwerteigenschaften bestimmter Folgen definiert.

      

Eine Folge von Elementen einer Menge ist eine Abbildung

      der Menge der ganzen Zahlen in den Raum , wobei der Definitionsbereich nach unten beschränkt ist.

       heißt der Indexbereich der Folge. Mit schreibt man für die Folge auch .

      Die Indexmenge einer Folge kann bei einer beliebigen ganzen Zahl beginnen:

      In Kurzschreibweise wird dies zu . Das erlaubt, ein einfaches Bildungsgesetz für das allgemeine Folgenglied mit anzugeben.

       Folgenglieder können aus beliebigen Mengen stammen, beispielsweise aus einem der Spaltenvektorräume oder einer endlichen Menge mit irgendwelchen Elementen oder einfach aus den reellen oder komplexen Zahlen. In diesem Buch werden Sie es mit reellen und komplexen Zahlenfolgen, deren Folgenglieder oder reelle beziehungsweise komplexe Zahlen sind, und mit Punktfolgen von Spaltenvektoren zu tun haben.

      In diesem Buch werden die meisten auftretenden Folgen aus oder stammen. Die behandelten Begriffe lassen sich aber fast immer auch auf beliebige endlichdimensionale Räume