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Eine nicht konvergente Folge heißt divergent.
Eine Folge von Punkten konvergiert also gegen den Grenzwert , in Formeln
falls eine der folgenden beiden Bedingungen erfüllt ist:
,
für alle .
Diese Bedingungen sind äquivalent: Falls eine davon erfüllt ist, ist es automatisch auch die andere.
Grenzwertuntersuchungen sind im Allgemeinen nicht einfach. Verschiedene Rechenregeln für Grenzwerte können Ihnen das Leben dabei etwas leichter machen.
Die folgenden Regeln gelten dann, wenn die beteiligten Folgen und konvergent sind:
Konstante Faktoren können Sie herausziehen:
Die Grenzwerte von Summen- beziehungsweise Differenzfolgen dürfen addiert (beziehungsweise subtrahiert) werden:
Der Grenzwert der Produktfolge ist Produkt der Grenzwerte:
Falls die Folgenglieder und der Grenzwert sind, dann ist der Grenzwert der Quotientenfolge der Quotient der Grenzwerte:
Beträge können Sie herausziehen:
Wenn Sie die Elemente einer Folge oder einer nicht leeren (unendlich großen) Teilmenge eines normierten Raums betrachten, ist es manchmal wichtig zu wissen, wie diese Elemente verteilt sind. Beispielsweise können alle Elemente gleich weit voneinander entfernt sein, wie die natürlichen Zahlen oder sich um einen bestimmten Punkt ansammeln. Denken Sie an die Menge , deren Elemente sich um den Punkt 0 häufen. Solche Punkte werden Häufungspunkte oder Häufungswerte genannt.
Ein Punkt
heißt
Häufungspunkt der Teilmenge , falls in jeder beliebigen noch so kleinen Umgebung
mindestens noch ein weiterer, von
verschiedener Punkt
liegt.
Ein Häufungspunkt einer Menge kann, aber muss nicht Element von sein. Außerdem kann eine Menge mehrere verschiedene Häufungspunkte haben.
Aus der Definition des Begriffs Häufungspunkt folgt sofort, dass in jeder beliebigen Umgebung eines Häufungspunkts von unendlich viele Punkte aus liegen: Sie können um den Häufungspunkt unendlich viele konzentrische geschachtelte -Umgebungen mit mit immer kleinerem Radius so anordnen, dass bei für die Umgebungen gilt. Betrachten Sie dazu Abbildung 1.2. In jeder Umgebung muss mindestens ein liegen. Diesen Punkt können Sie so wählen, dass und für alle ist. Da innerhalb von unendlich viele weitere Umgebungen liegen, müssen wirklich unendlich viele Punkte in jeder dieser Umgebungen von enthalten sein. Die Elemente von häufen sich im wahrsten Sinne des Wortes.
