Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

wird durch

      mit entsprechenden reellwertigen Funktionen definiert. Die Funktionen heißen die Komponentenfunktionen von .

      Ein Beispiel: Die Funktion mit

      besitzt die Komponentenfunktionen , und .

      Genau wie im vorigen Abschnitt »Viele Wege führen dahin: Stetigkeit« für reellwertige Funktionen mehrerer Variablen kann Stetigkeit auch für Funktionen definiert werden.

       Die Stetigkeitsdefinition aus dem Abschnitt »Viele Wege führen dahin: Stetigkeit« können Sie wörtlich auf Funktionen übertragen; allerdings müssen Sie dabei beachten, dass nicht nur die Punktfolgen aus Punkten eines mehrdimensionalen Raumes, dem , bestehen, sondern auch die zugehörigen Folgen der Funktionswerte . Der Grenzwert

      ist also ebenfalls als ein Grenzwert einer Punktfolge in einem mehrdimensionalen Raum, dem , zu verstehen.

Ableiten bis zum Abwinken: Totale Differenzierbarkeit

Unter den wichtigen und interessanten Eigenschaften einer Funktion stehen Stetigkeit und Differenzierbarkeit an erster Stelle. Beides sind sogenannte Änderungsmodi einer Funktion. Ist eine Funktion stetig, so wissen Sie, dass eine kleine Änderung im Argument nur eine (vergleichsweise) kleine Änderung im Funktionswert zur Folge haben kann. Stetige Funktionen können nicht springen. Ist die Funktion zusätzlich differenzierbar, dann können Sie die Änderungsrate an einer bestimmten Stelle auch quantitativ angeben und erhalten dadurch die Ableitung. Anders als bei reellwertigen Funktionen einer einzigen Variablen gibt es für Funktionen zwischen mehrdimensionalen Räumen verschiedene Ableitungsbegriffe: partielle Ableitung, totale Ableitung oder Richtungsableitung. Dieser Abschnitt beschreibt diese Begriffe und liefert damit eine Einführung in die mehrdimensionale Differentialrechnung. Zunächst erkläre ich Ihnen dabei den Begriff der partiellen Ableitung für reellwertige Funktionen.

      Nur einen Teil: Die partielle Ableitung

      Für eine reellwertige Funktion einer einzigen Variablen ist die Ableitung in einem Punkt nach dem Abschnitt »Differenzierbarkeit und Kurvendiskussion« in Kapitel 1 als Grenzwert des Differerenzenquotienten definiert. Anschaulich ergibt dieser Grenzwert, wenn er existiert, die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion in diesem Punkt.

      Stellen Sie sich nun eine reellwertige Funktion von Variablen vor. Erlauben Sie bei dieser Funktion für einen Moment nur einer einzigen Variablen, zum Beispiel mit , sich tatächlich zu verändern, und halten Sie die restlichen Variablen fest: , dann erhalten Sie praktisch eine reellwertige Funktion einer einzigen Variablen:

      Anschaulich gesprochen stellt die Funktion in Richtung der -ten Koordinate dar.