die daher partielle Ableitungen nach den Variablen für besitzen kann.
Die
partiellen Ableitungen einer Funktion sind die partiellen Ableitungen
aller Komponentenfunktionen von
, falls diese existieren.
Da die partiellen Ableitungen einer Abbildung zwischen zwei mehrdimensionalen Räumen die partiellen Ableitungen ihrer Komponentenfunktionen sind, gelten die Eigenschaften und Regeln für partielle Ableitungen von reellwertigen Funktionen sinngemäß auch für die partiellen Ableitungen von vektorwertigen Funktionen.
Totale Differenzierbarkeit
Die Eigenschaft der partiellen Differenzierbarkeit ist für viele Anwendungen zu schwach. Eine stärkere Eigenschaft ist die totale Differenzierbarkeit.
Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion wird üblicherweise als Grenzwert des Differenzenquotienten definiert:
Anschaulich betrachtet man dabei das Grenzverhältnis in der Änderung des Funktionswerts im Vergleich zur Änderung des Arguments .
Prinzipiell wird die (totale) Ableitung auch für Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Räumen so definiert, allerdings müssen Sie dabei beachten, dass die Änderung im Argument im allgemeinen Fall vektorwertig ist, da die Variablen und aus mehrdimensionalen Räumen stammen. Die Division durch einen Vektor ist nicht definiert, daher können Sie das Verhältnis nicht genau so als Differenzenquotienten schreiben. Mit einem kleinen technischen Trick können Sie das aber doch analog zur Situation für »eindimensionale« Funktionen definieren. Dazu stellen Sie zuerst die obige Definitionsgleichung um:
Für einen inneren Punkt
einer offenen Teilmenge
des
-dimensionalen Raumes
heißt eine Funktion
in total differenzierbar, wenn es eine reelle
–Matrix
mit der Eigenschaft
gibt. Oft sagt man statt »total differenzierbar« kurz »differenzierbar«.
Die Matrix heißt 1. Ableitung oder Jacobi-Matrix der Funktion an der Stelle . Man bezeichnet die Matrix auch mit .
Zunächst scheint diese Definition der totalen Ableitung einer Funktion sehr formal und technisch zu sein, sie hat aber eine sehr anschauliche geometrische Bedeutung: Der Grenzwert aus der Definition der totalen Ableitung besagt nichts anderes, als dass sich die Funktionswerte immer besser durch die Werte der affin linearen Abbildung darstellen lassen, je näher an die Stelle herankommt. Was das genau bedeutet und welche anderen Eigenschaften
