Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

Mit für und

      wird die obige Gleichung

      oft auch etwas anders geschrieben:

      

heißt der lineare Anteil des Zuwachses von oder das totale Differential von in .

      Praktische Berechnung der totalen Ableitung

      Die totale Ableitung einer reellwertigen Funktion von Variablen spielt die Rolle der üblichen Ableitung einer eindimensionalen Funktion. In der geometrischen Interpretation entspricht die totale Ableitung der Verallgemeinerung der gewöhnlichen eindimensionalen Ableitung auf mehrdimensionale Situationen. Eine weitere gemeinsame Eigenschaft finden Sie im Zusammenhang zwischen totaler Differenzierbarkeit und Stetigkeit.

       Ist eine Funktion in total differenzierbar, so ist sie in diesem Punkt auch stetig.

      Im Umkehrschluss können Sie damit folgern, dass eine Funktion an einer Unstetigkeitsstelle nie total differenzierbar sein kann.

      Ähnlich wie die übliche Ableitung ist die totale Ableitung über einen Grenzwertprozess definiert. Die direkte Berechnung durch Grenzwertbildung ist allerdings in den meisten Fällen kompliziert und unnötig.

       Falls eine reellwertige Funktion von Variablen an einer Stelle total differenzierbar ist, dann existieren dort auch die partiellen Ableitungen , und es gilt:

      Dieser mathematische Satz stellt nicht nur sicher, dass eine total differenzierbare Funktion auch partielle Ableitungen besitzt, sondern Sie erhalten daraus auch eine einfache und praktische Berechnungsmethode für die totale Ableitung.

Zur praktischen Berechnung der totalen Ableitung einer reellwertigen Funktion von Variablen berechnen Sie, wie in: »Nur einen Teil: Die partielle Ableitung«, alle partiellen Ableitungen von .

      Die totale Ableitung ist dann durch den Zeilenvektor

      gegeben.