Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

Diese neue Funktion können Sie mit den Methoden der eindimensionalen Analysis aus dem Abschnitt »Eindimensionale Analysis« in Kapitel 1 untersuchen, beispielsweise auf Differenzierbarkeit.

      Existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten

      von an einer Stelle , dann ist an dieser Stelle differenzierbar, und Sie erhalten mit der Ableitung von an einer Stelle gleichzeitig die Änderungsrate der Funktion am Punkt entlang der -ten Koordinatenrichtung. Diese Änderungsrate wird die -te partielle Ableitung von genannt.

Die formale Definition der partiellen Ableitung vermeidet zwar den Umweg über Hilfsfunktionen , bedeutet aber genau dasselbe.

      

Die Funktion mit Definitionsbereich heißt im Punkt partiell nach differenzierbar, falls der Grenzwert

      existiert.

      Der Grenzwert heißt die partielle Ableitung von nach in und wird mit

      bezeichnet.

      Trotzdem entspricht die partielle Ableitung von nach in der ganz normalen »eindimensionalen« Ableitung der Funktion

      als Funktion der Variablen an der Stelle , wobei die übrigen fest und damit bei der Differentiation als Konstante anzusehen sind. Es gilt:

      Ein Beispiel: Betrachten Sie die Funktion mit Definitionsbereich . Zur Berechnung der partiellen Ableitung gehen Sie Schritt für Schritt so vor:

      1 Setzen Sie .

      2 Leiten Sie die Funktion ab.Das heißt: Berechnen Sie die Ableitung . Es gilt:

      3 Sie erhalten die gesuchte partielle Ableitung, indem Sie berechnen:

      Analog erhalten Sie die beiden anderen partiellen Ableitungen der Funktion :

      1 Setzen Sie .

      2 Leiten Sie die Funktion ab.

      3 Sie erhalten die gesuchte partielle Ableitung, indem Sie berechnen:

      4 Setzen Sie .

      5 Leiten Sie die Funktion ab.

      6 Sie erhalten die gesuchte partielle Ableitung, indem Sie berechnen:

      Mit ein wenig Übung werden Sie partielle Ableitungen direkt berechnen können und den Umweg über die Hilfsfunktionen nicht mehr benötigen.

       Der Weg über die Hilfsfunktionen