Stellen Antinomien auftreten können.
Antinomien werden nicht vollständig verschwinden, was in dem Satz über die Unvollständigkeit von Reflexionsabbildern kumuliert. Dennoch lässt sich ein (entscheidbarer) Satz über Vollständigkeit und (globale) Entscheidbarkeit der Reflexionslogik formulieren. Mehr noch: Die Reflexionslogik verdeutlicht, dass Antinomien ein vitaler Bestandteil der modernen Mathematik sind, denn über sie lassen sich genau jene Räume konstruieren, mit denen sich die Standardmathematik beschreibend beschäftigt.
Die Mathematik ist auch eine Wissenschaft des Unterscheidens. Zentraler Begriff der Reflexionslogik hingegen ist die Identität. Wenn die Reflexionslogik in der Mathematik Gültigkeit besitzen soll, muss der Begriff der Identität rigoros angewendet werden können, das heißt: Es muss in einer logischen Operation der Bestimmung der Identität eines Objektes präzise entscheidbar sein, ob ein Objekt identisch mit einem anderen Objekt ist oder nicht – oder möglicherweise beides, was in der Standardlogik ein Paradoxon ergäbe, nicht jedoch in der Reflexionslogik.
Die Reflexion ist der Operator der Identität, welches in der Definition des Begriffes der Reflexion erklärt wird. Dadurch wird die Identität als aktive logische Operation herausgestellt, was der Bedeutung des Begriffes entspricht und sie aus dem Schattendasein der Nicht-Beachtung oder des nebenbedeutenden Implizierens befreit.
Eigentlich ist die Reflexionslogik aus der Erkenntnistheorie her motiviert: Ihr Initialgrund ist die Konstruktion eines mathematisch-logischen Modells zur Beschreibung von Erkenntnis und Bewusstsein. Das Bewusstsein ist eine Reflexion im Sinne der Reflexionslogik, welche den Raum unserer Erkenntnis vollständig zu beschreiben vermag: ein Zirkelschluss, ist doch unser Bewusstsein das zentrale – mehr noch: das einzige – Werkzeug, mittels dessen wir das uns umgebende Universum wahrnehmen. Daher sind die Hauptbegriffe, Reflexion und Identität, eher an Psychologie und Erkenntnistheorie gelehnt, als an die Mathematik. Manchem werden Begriffe wie Identität, Neutralität, Negativität, Reflexion und Antinomie. vielleicht eher der Philosophie zugehörig erscheinen. Wir werden jedoch sehen, dass diese Begriffe mit mathematisch-logischer Präzision bestimmbar und auswertbar sind.
Die Identität
Noch bevor wir zu unserer ersten Abenteuerreise aufbrechen können, sind es zwei andere Protagonisten, die in einer geradezu kosmischen und allesentscheidenden Auseinandersetzung um die Vorherrschaft im Universum streiten: das Sein und das Nichts. Wenn wir die Frage danach stellen, ob das Sein existiert, dann wollen wir, seiner Natur entsprechend, gerne glauben, dass das Sein existiert – nicht aber das Nichts. Also halten wir fest:
Axiom (des Seins): Das Sein existiert.
Bezüglich der Neutralität legen wir fest:
Axiom (der Neutralität): Das Nichts ist (völlig) neutral.
Der neutralen Natur des Nichts und der existierenden Natur des Seins entsprechend kommen wir zur Definition zweier Operationen:
Definition: Die Negation ist die Operation der Neutralität.
Definition: Die Existenz ist die Operation des Seins.
Daraus ableitend kommen wir zu dem Schluss, dass das Nichts seltsamerweise nicht existiert: Die Anwendung des Existenzoperators auf die Neutralität würde folgende Aussage generieren: »Das Nichts existiert.« Doch wenn das Nichts existierte, dann würde es seiner neutralen Bestimmung folgen und also nicht existieren, also gilt:
Satz: Das Nichts existiert nicht.
Eine Operation des Seins auf der Neutralität impliziert also in gewisser Weise eine Operation der Negation auf der Operation des Seins, was aber nur ein Hieb der Neutralität gegen sich selbst ist – dies ist eine der Schlachten zwischen den beiden Titanen, bei der das Sein der Neutralität letztendlich einen tödlichen Treffer beibringt. (Wir haben es in diesem Fall bereits mit einer Antinomie zu tun, doch mehr dazu im nächsten Kapitel.)
Der Vollständigkeit halber fügen wir hinzu:
Satz: Das Sein ist nicht (völlig) neutral.
Aus diesem Streit wird, wir hörten es bereits, das Sein als glänzender Sieger hervorgehen und den Morgen der Existenz einläuten. Seine Hauptwaffe: die Gewissheit, dass es, das Sein, existiert. Und das Nichts – es ist seiner Neutralität wegen des Nicht-Seins überführt; es scheint, das Sein hätte gegen die einst langen und nun sich allmählich verkürzenden Schatten seiner selbst gekämpft, und das Nichts hätte tatsächlich nie existiert.
Nach Anbruch des Morgens der Existenz ist also der Konflikt endgültig entschieden, und das Licht des Seins ist in alle dunklen Winkel des Nichts eingedrungen, seine Finsternis einfach überstrahlend. Also dominiert in einer Welt der Existenz das Sein über das Nicht-Sein:
Satz (über das Dominanzprinzip): Das Sein ist (bezüglich der Existenz) dominant gegenüber der Neutralität.
Anmerkung: Normalerweise sind wir vor allem an Objekten interessiert, deren Existenz wir eindeutig feststellen können, und eben nicht an solchen, die nicht existieren und daher auch keinerlei Relevanz für uns haben. Nach dieser Argumentation ist das Dominanzprinzip das völlig korrekte Ergebnis des Abwägens zwischen dem Sein und der Neutralität. Doch der Gebrauch einer Formulierung, wie: » ... wir sind daran interessiert ...«, läuft verständlicherweise Gefahr, der Willkür bezichtigt zu werden. Genausogut könnten wir der Neutralität den Vorzug geben und ein Dominanzprinzip formulieren, wie »Die Neutralität ist (in Bezug auf Neutralität) dominant gegenüber dem Sein« – was auch immer das bedeuten mag. Dies sollten wir bei jeder Anwendung des Dominanzprinzips (bezüglich des Seins) im Sinn behalten.
In solcher Morgendämmerung erwachen wir in einer fremden Umgebung: Wir wissen nicht, wo wir sind – wir wissen noch nicht einmal, wer wir sind. Alles, was wir sehen, ist uns fremd, und die Verwirrung über die Situation, in der wir uns befinden, ist sicher nachvollziehbar. Doch nicht allzulange Zeit später, wir haben die Befremdlichkeit überwunden, bemerken wir, dass die Situation nicht so aussichtslos ist, denn zumindest einige Aussagen darüber lassen sich sofort formulieren: Durch welchen Umstand wir auch immer in diese phantastische Umgebung versetzt wurden, wir haben diese Transformation überlebt – wir existieren. Und wir werden – je nachdem, wie komplex dieses Abenteuerland strukturiert ist – einer Unzahl von Dingen gewahr, die genauso existieren wie wir: Berge, Flüsse, Wälder, oder vielleicht eher Straßen, Häuser, Automobile, Fußgänger – auf jeden Fall stehen uns all diese Objekte in Sachen Existenz nichts nach.
Und noch eines bemerken wir: Alle diese existierenden Objekte, die uns vorkommen, lassen sich ohne große Mühe voneinander unterscheiden, vor allem anhand ihrer räumlichen Position. Insbesondere, bemerken wir am Ende erstaunt, lassen sie sich von uns, dem Betrachter, unterscheiden. Und nachdem nun alle diese Erkenntnisse gesammelt und geordnet wurden, gewissermaßen als erste Pioniertat in der Erkundung des fremden Landes, haben wir den vielleicht wichtigsten Begriff sowohl der Philosophie als auch der Naturwissenschaften verstanden: die Identität.
Die Erkenntnis, dass jedes Objekt (und Subjekt) eine Identität besitzt, mag uns trivial erscheinen, doch in Wirklichkeit ist sie von derart phänomenaler Art, dass sie gar nicht unterschätzt werden kann. Sie ist so fundamental, und viel bedeutender als die Beherrschung des Feuers oder die Erfindung des Rades, dass wir sie als erste Identitätsdefinition der Reflexionslogik festhalten wollen:
Definition (der 1. Identität): Die Identität ist eine Eigenschaft, die jedem existierenden Objekt durch den Existenzoperator des Seins zugewiesen wird.
Aufgrund der Tatsache, dass wir existierende Objekte unterscheiden können, folgt sogleich die
Definition (der 2. Identität): Die Identität ist ein Vergleichsoperator, der zwei existierende Objekte auf Unterscheidbarkeit überprüft.
Daraus folgt der
1. Identitätssatz: Jedes Objekt ist mit sich selbst identisch.
Sollten uns in zwei verschiedenen Bezugssystemen zwei unterscheidbare