olmak için verilen beden eğitimi; üçüncü olarak da bir müddetten sonra hayatın sonraki döneminde, matematikle başlayıp genellikle felsefe ile devam eden bir eğitim bunu takip eder.
Platon için felsefenin iki büyük amacı olduğu görünür: Öncelikle, soyut düşünceleri gerçekleştirmek; ikinci olarak onları birleştirmek. Ona göre, gerçek eğitim insanı “dönüşmek”ten “olma”ya ve bütün varlığın kapsamlı bir araştırması olmaya götüren şeydir. Duyular azalana ve yalnızca genel olgu kalana kadar insan, zihninde her şeyin içinde evrensel olanı görme becerisini geliştirmeyi arzular. Daha sonra ise, duyudan bağlantısı kesilen ve onların aralarındaki ilişkilerin dilin ortak kullanımından başka temeli olmadığını algılayamayan evrensel olguları birleştirmeye çalışır. Soyut düşüncelerin, Hegel’in dediğine göre, “sadece soyut düşünceler” olduğunu asla anlamaz. Bilgilerin düzenlenmesinde kullanıldığında faydalı olduklarını ama ondan ayrı veya herhangi bir hayalî iyi ideası ile ilgili olarak sürdürüldüğünde bilginin özetine hiçbir şey eklemediğini anlamaz. Yine de soyut düşünceler becerisinin uygulanması, gerçeklerden ayrı olarak zihni genişletmiş ve insan ırkının eğitiminde önemli bir rol oynamıştır. Platon, bu becerinin önemini takdir etmiş, sayı ve bağıntı çalışmalarıyla ona ivme kazandırılabileceğini görmüştür. İçinde karşıtlık veya oran olan her şey yansıma ile akıl çeler. Sadece duyuların etkisi hiçbir düşünce ya da zihin gücüne yol açmaz fakat fark edilir nesneler kıyaslanmayı ve ayırt edilmeyi hak ettiğinde felsefe başlar. Aritmetik bilimi ilk olarak bu ayrımları ortaya atar. Sıralamada sonra gelenler düz geometri ve katı cisimler geometrisinin bilimleridir, daha sonra ise bir branşı da astronomi ya da katmanların uyumu olan hareket eden katı cisimler gelir ki buna, seslerin uyumu olan kardeş bilim de eklenir. Platon aynı zamanda, kimyada ve doğa felsefesinde de kullandığımız, Pisagorcular, hatta Aristo’nun da ahlak ve siyasette kullandığı, aritmetik ve geometrik oranın ahlaktaki ayrımı, (V. Kitap) sayısal ve oransal eşitliğin siyasetteki ayrımı gibi aritmetik ve matematiksel oranların farklı uygulamalarını da üstü kapalı söyler.
Günümüz matematikçisi Platon’un saf matematiğin niteliklerine duyduğu sevinci kolaylıkla anlayabilir. Şunları onunla birlikte söylemeye gönülsüz değildir: Cenneti rahat bırakın ve sayılar ile şekillerin içindeki güzellikleri çalışın. Onların uygulamalarını sanata da düşürmeye meyilli olacaktır. Platon’un, içinde şekillerden vazgeçildiği bir geometri algısı olduğunu; böylece uzak ve karanlık bir şekilde genel bir analiz tarzıyla çalışan geometrik problemlerin ihtimalini öngörüyor gibi göründüğünü gözlemleyecektir. Hay Allah! Platon döneminde devletin yardımıyla teşvik edilmeyen katı cisimler geometrisinin tersten durumunu ilgiyle belirtecektir ve Platon’un zihninin kavrayışını, onun dünya ve gök kubbe de dâhil bir katı cisimlerin hareket bilimini anlama becerisinden fark edecektir, kinayenin zaten yapıldığı üstü kapalı anlamı, astronomiye ve harmoniğe ek olarak katı cisimlerin hareketi biliminin başka uygulamaları da olabileceğini de unutmadan. Yine de Platon’u, bilimlerin zar zor var olduğu o zamanlarda birbirleriyle, iyi ideasıyla veya gerçek ve var oluşun yaygın prensibi ile ilişki içinde incelenmeleri gerektiğini söylemeye iten kapsamlılıkta takılı kalacaktır. Fakat aynı zamanda, (belki de şaşkınlık duymadan) fiziksel ve matematiksel bilginin o aşamasında Platon’un gök kubbeyi matematiksel problemlerle önsel olarak inşa edebileceğini ve seslerin insan kulağına uyumuna bakmaksızın ahenk prensiplerini belirleyebileceğini düşünme hatasına düştüğünü görecektir. Aldanma, o dönemde ve ülkede doğal bir şeydi. Astronomi ve harmoniğin basitliği, kesinliği, duyular dünyasının çeşitliliği ve karışıklığına karşıt gibi göründü. Böylece Platon, orta seviye gerçek temeli olduğu durumu, bazı sonunda test edilmesi gereken uzaklık, zaman veya titreşim ölçülerini gözünden kaçırmıştı. Newton’ın çağdaş eskileri de aynı büyüklükte hatalara düşmüşlerdir ve günümüz astronomisinin büyük bir kısmının yardımıyla astronomik keşiflerin yapıldığı soyut dinamikten oluştuğunu göz önünde bulundurduğumuzda, Platon’un çok fazla yanıldığı ve konuya kâhince bir tür bakış açısı getirdiği neredeyse hiç söylenemez.
Metafizik filozofu bu açıdan bakıldığında matematiği; dikkat gücünü arttıran, düzen hissi ve yapım becerisi geliştiren, zihnin basit bir formül altında fiziksel fenomenlerin nitel farklarını kavramasını sağlayan bir eğitim aracı olarak görür. Fakat onların eğitimdeki değerini kabullenirken aynı zamanda onların bizim yüksek ahlaki ve düşünsel fikirlerimizle bir yakınlığı olmadığını görür. Platon’un onları bağlamak için yaptığı girişimde, eski Pisagorsal fikirlerin etkilerini kolayca görebiliyoruz. İdeal sayılardan bahsettiğini varsaymanın bir nedeni yoktur. Gerçek ve ayrı bir varlığı bağladığı, “bu sanatın hocaları”nın (büyük ihtimalle Pisagorculardan bahsediyor) da onaylayacağı gibi daha alt bölünme girişimlerinin hepsini geri püskürten ve birlik ile tüm diğer sayıların mutlak olarak algılandığı, salt soyut düşünce olan sayıları tarif etmektedir. Sayıların gerçeği ve kesinliği, fenomenlerden bağlantısız tutulduğunda, onlara eski bir filozofun gözlerinde bir tür kutsallık vermiştir. Düzen ve sabitlik idealarının, Timaeus’a göre “hatalı yaşamlarını onlara göre düzenlemeyi öğrenebilecek” insanların zihinlerinde ne kadar fazla ahlaki ve yücelten bir etkisi olduğunu söylemek de kolay değildir. Eski Pisagorcu ahlak sembollerinin bugün bizde mecazlar olarak hâlâ var olduğu gerçeği dikkate değer. Ve modern zamanlarda dünyanın evrensel yasalarla kaplı olduğunu görenler aynı zamanda çağdaş felsefenin Platon’un, her şeyin kaynağı ve ölçüsü, aynı zamanda sadece soyut bir fikir (Philebus) olan iyi ideasındaki bu son sözünün öngörüsünü de görebilirler.
İki paragrafın daha özel açıklamalar gerektirdiği görülür. İlk olarak, görüş analizi ile ilgisi olan. Bu kısımdaki güçlük diğer birçoğu gibi eski ve modern düşünürlerin arasında yaygın olan düşünce biçimleri arasındaki farklarla açıklanabilir. Bize göre duyu algıları, onlara eşlik eden zihin eylemlerinden ayrılamaz. Şekil, renk, mesafe bilinci, onlara aracı olan basit algılamadan ayırt edilemez. Oysaki Platon’a göre algı, Heraklitosçu algı akışıdır; nesnelerin görüntüsü kendilerini deneyimlenen görüşe sundukları düzende değil, bir yenidoğanın yarı uyanık gözüne karışık ve bulanık görünmeleridir. Zihnin ilk hareketi bu kaosu düzene sokma denemesinden çıkar ve algının etkilerinin düzenlenebileceği farklı fikirleri şekillendirmek için mantık gereklidir. Böylece şu soru ortaya çıkar: “Büyük olan nedir? Küçük olan nedir?” ve görünen ile anlaşılır olanın ayrımı başlar.
İkinci zorluk Platon’un harmonik ile ilgili düşüncesiyle alakalıdır. Harmonistlerin üç sınıfı onun tarafından şöyle ayrılır: İlk önce, bir önceki müzik tartışmasında Damon’a yaptığı gibi danışmayı teklif ettiği Pisagorcular. Sanatın uzmanları olarak kabul edilirler fakat hep birlikte onun daha ileri öneminin ve iyiyle ilişkisinin bilgisinde eksiktirler. İkinci olarak, Glaukon’un kafası karışmış görünen ve hem onun hem Sokrates’in sesler arasındaki boşluklarla sadece oskültasyonla deney yaptıklarını söylediği salt empirikler. Bu iki grup da Platon’un, tamamen soyut bir şekilde çalışılması gereken ahenk ideasını açıklamakta, önce problemler yöntemiyle, ikinci olarak da evrensel bilginin iyi ideasıyla ilişkisinin bir parçası olarak açıklayarak çeşitli derecelerde yetersiz kalırlar.
Alegorinin felsefi olduğu kadar siyasi bir anlamı da vardır. Mağara, siyaset veya hukukun dar bir kısmını temsil eder (Theaitetos’taki filozof ve avukat tanımıyla kıyaslayın.) ve sonsuz fikirlerin ışığının, alt dünyaya dönenlerin zihinlerinde rahatsız edici bir etki bırakması gerekmektedir. Diğer bir deyişle, onların prensipleri pratikte uygulamak için çok geniştir. İşleri bugünleyken geçmişte ve gelecekte çok uzağa bakmaktalardır. İdeal olan, gerçek hayatın koşullarına