В этом случае операции с формулами дают ответ, что летящая стрела летит, Ахиллес догонит черепаху.
Чаще всего философы, сталкиваясь с противоречием в объяснении мира, предлагали новую аксиому, с помощью которой это противоречие устранялось. Посмотрим, как это происходило в истории философии.
Родоначальник древнегреческой философии Фалес (625—547 до н. э.), живший в городе Милет, видимо, пытаясь объяснить обычные вещи (например, появление тучи, дождя, грязи и обратного превращения в сухую землю), постоянно натыкался на противоречия. Если вода из воды, а воздух из воздуха, земля из земли [заметьте – это современное объяснение], то как туча и дождь оказались в небе – там же только воздух? Если туча и дождь появились из небытия, а потом вода вернулась в небытие (это было очевидно – видно очами), то это невозможно: небытие – это ничто, а ничто не бывает, по определению.
Тогда Фалес предположил, что вода уже была в небе, но в другом виде, и она не исчезла, а приняла другой вид. Отсюда он делает вывод, что всё есть вода, но вода разная: воздух – разряжённая вода, земля – сгущённая вода. Значит, сгущение и разряжение воды образует все вещи, и они отличаются только разной степенью сгущения. Разряжение и сгущение воды для Фалеса становится аксиомой, и он логически объясняет все происходящие изменения. Он не создавал новую логику, он просто мыслил логически.
Но Фалес не сказал, что же заставляет воду разряжаться и сгущаться. На этот вопрос ответил Анаксимен (585—525 до н. э.). Логика подсказывала, что должен быть какой-то двигатель. Можно было бы объяснить волей богов, но «любителей мудрости» [слово «философ» с греческого переводится как «любитель мудрости» – так назвал себя Пифагор (570—495 до н. э.)] такое объяснение уже не устраивало. Анаксимен сгущение и разряжение объяснил дыханием мира. А дальше по правилам формальной логики следует вывод: так как дышать можно только воздухом, то он и является первоначалом, его разряжение и сгущение образует все вещи в мире.
Но если источник изменений – внешний, то как объяснить вмешательство человека? Не может же человек управлять дыханием мира! То есть учение Анаксимена противоречило фактам. Гераклит (530—470 до н. э.) решил эту проблему, предложив новую аксиому: причиной всех изменений является подвижное первоначало – огонь. Он горит сам, ему не требуется внешний двигатель. Дальше Гераклит, не нарушая правила формальной логики и не противореча фактам, отвечает на появляющиеся вопросы.
Если мир – огонь, то почему он вечный и, если вечный, то почему не сгорел? Гераклит объясняет: если бы огонь остановился, он бы вновь не начался, значит мир существует вечно. Мир не сгорел, потому что все процессы переходят в свою противоположность. То есть нагрелось – остывает, остыло – нагревается. Как видим, заявление Гераклита о переходе в противоположности – это новая аксиома в рамках формальной логики, чтобы не нарушать её правил.
Если