Всякая общая мера есть усложненная единица. Число, следовательно, лежит в основе всех других целостностей. Всякая организованная, упорядоченная сложность имеет в своей основе число. Оно являет эту сложность (сложенность) в самом чистом виде. Можно сказать и иначе: всякое целое, состоящее из частей, есть, по своей сути, число, усложненное, обремененное какими-то дополнительными, нечисловыми характеристиками. Поэтому истинное знание всякого сущего представляет собой знание его числовой структуры. Поэтому арифметика есть главная наука, без которой невозможна никакая другая.
На примере пифагорейской арифметики мы далее попробуем уточнить, что такое ясное знание и каковы его условия. Мы уже не раз говорили о структурировании целого. Знание целого состоит в усмотрении организации его частей. Чтобы объяснить смысл такого усмотрения нам будут полезны дополнительные сведения о пифагорейской теории чисел.
Прежде всего заметим, что слово «усмотрение» имеет здесь буквальный смысл. Число для пифагорейцев имеет зримое выражение, оно всегда имеет явное графическое представление. Выше мы уже воспользовались одним из таких представлений, чтобы показать различие между нечетным и четным числом. Число как множество, составленное из единиц, всегда можно созерцать, видеть глазами, как целое, объединяющее свои части. Однако такое созерцание требует определенной работы. Рассмотрим, например, число 9, которое исходно представляет собой девять собранных вместе единиц. Выглядеть это может, например, так:
Пока что перед нами лишь собрание единиц, в котором мы не видим никакой особой структуры. Впрочем, можно сразу заметить, что перед нами число – нечетное, т. е. имеющее начало, середину и конец. Наше созерцание приобретает большую определенность. Мы уже выделили некоторую внутреннюю структуру.
Далее мы заметим, что выбранное нами число представляет собой трижды повторенную тройку:
В исходном целом обнаруживается дополнительная структура, обусловленная выделением других частей, из которых оно составлено. Чтобы сделать эту структуру более явной, запишем число в таком виде:
Такое число пифагорейцы называли квадратным. Ясно, что не только д обладает такой структурой, а всякое число, полученное умножением целого числа на себя. Мы и сейчас называем эти числа полными квадратами. Посмотрим на них еще внимательней. Для начала, не прибегая к графическому представлению, укажем одно интересное свойство полных квадратов:
4 = 22 = 1 + 3
9 = 32 = 1 + 3 + 5
16 = 42 = 1 + 3 + 5 + 7
25 = 52 = 1 + 3 + 5 + 7+9
36 = 62 = 1 + 3 + 5 + 7+9 + 11
Обнаруживается интересная связь между квадратными и нечетными числами. Каждый квадрат есть сумма последовательных нечетных чисел. Пока что, впрочем, это остается лишь эмпирическим наблюдением. Доказательство этого свойства легко получается, если прибегнуть к пифагорейским «фигурным» числам. Заметим только, что всякое нечетное число представимо так: