напряжений.
В результате получим следующую систему уравнений, представляющую собой закон Гука в общем виде:
Эти уравнения можно записать для линейного и плоского напряженного состояния материалов, если убрать соответствующие слагаемые.
Из полученной системы уравнений видно, что, зная главные напряжения, можно найти напряженное и деформированное состояния в точке, причем эти состояния могут не совпадать.
15. Потенциальная энергия при сложном напряженном состоянии
При возникновении деформации внешние силы совершают работу, связанную со смещением точек приложения этой силы. Элементарная работа dA внешней силы F определяется по формуле:
dA = Fdl’
где dl’ – перемещение точки приложения силы.
Из закона Гука известно:
В этом соотношении l – длина рассматриваемого участка до деформации;
dl – изменение длины;
a – площадь поперечного сечения тела.
Таким образом,
dA = Eadl’dl / l
Проинтегрировав полученное равенство от нуля до окончательного значения перемещения l’, найдем полную работу силы.
При воздействии на тело внешних статических сил работа этих сил определяется как половина произведения окончательного значения силы на конечное значение перемещения точки приложения этой силы.
A = F’l’ / 2
При воздействии на тело постоянных внешних сил работа этих сил определяется как произведение значения этой силы на конечное значение перемещения точки приложения этой силы.
A = F’l’
Внутренние силы направлены противоположно перемещению, поэтому считается, что работа внутренних сил при нагружении отрицательна. Элементарная работа внутренних сил рассчитывается аналогично работе внешних сил.
dAвн = Ndl / 2
где N – продольная сила (внутренне усилие).
Вновь воспользовавшись законом Гука, имеем:
dAвн = –N2dl / 2Еa
Интегрируя соотношение по длине рассматриваемого участка, получим полную работу внутренних сил:
Потенциальной энергией деформации называется величина, равная модулю работы внутренних сил, она представляет собой энергию, которая накапливается телом при деформации.
U = Eal2 / 2(l + dl)
При расчетах различных конструкций и сооружений в случае деформации широко используются свойства механической энергии.
Если под воздействием нагрузки тело переходит в деформированное состояние, то сумма работ внутренних и внешних сил равна нулю. Это свойство энергии носит название закона сохранения механической энергии.
Действительное напряженное состояние равновесия упругого тела отличается от всех других состояний тем, что в этом состоянии потенциальная энергия деформации минимальна. Это свойство справедливо для тел, подчиняющихся закону Гука, и называется принципом наименьшей работы.
16. Проверка