Daher schwimmt es an der Oberfläche.
Ballone und Luftschiffe werden mit einem Gas (meist Helium) befüllt, dessen Dichte geringer ist als die der atmosphärischen Luft.
In Heißluftballons wird die Luft in der Ballonhülle mit Hilfe von Gasbrennern erhitzt, wodurch die Luftdichte abnimmt, da die Luftteilchen durch die Wärmebewegung mehr Volumen beanspruchen und damit die Dichte kleiner wird.
Wird demnach ein größeres Volumen in den Nenner der Gleichung
Ragin bewundert viele weitere interessante Erkenntnisse von Archimedes, die bis heute eine wichtige Rolle in den Naturwissenschaften und der Mathematik spielen.
Die Kreiszahl π
So war es bis ins Mittelalter nicht möglich, die Fläche oder den Umfang eines Kreises exakt zu berechnen. Bereits lange vor Archimedes war den Gelehrten allerdings bekannt, dass das Verhältnis zwischen Kreisumfang und Kreisdurchmesser eine Konstante sein müsste.
Doch erst Archimedes näherte sich dem Wert der Kreiszahl π ziemlich genau.
Dazu zeichnete er in und um einen Kreis Vielecke mit 6, 12, 34, 48 und 96 Seiten. Der Umfang der Vielecke, die im Kreis lagen, wurde immer größer, der Umfang der Vielecke, die um den Kreis gezeichnet waren, wurde immer kleiner. So konnte Archimedes den Wert von π eingrenzen.
Es ist bekannt, dass die Seitenlänge eines in einen Kreis einbeschriebenen regelmäßigen Sechsecks gleich der Länge des Radius des Umkreises ist.
Dies konnte sich schon Archimedes in seinem „Sandkasten“ herleiten:
Im Kreis befinden sich sechs Dreiecke mit jeweils einem Mittelpunktswinkel von 360° : 6 = 60°. Es ist erkennbar, das die Schenkel der Dreiecke mit dem Kreisradius identisch sind.
Da die Basiswinkel gleichschenkeliger Dreiecke gleich groß sind, müssen auch diese Winkel eine Größe von 60° haben, weil die Winkelsumme eines Dreiecks 180° beträgt.
Damit liegen sechs gleichseitige Dreiecke vor, weshalb die Seitenlängen des Sechsecks gleich der Länge des Kreisradius sein müssen. Was zu beweisen war.
Archimedes wusste, dass das Verhältnis zwischen Kreisumfang u und Kreisdurchmesser 2 r eine Konstante π sein soll. Daher berechnete er den Kreisumfang über dieses Verhältnis:
u(Kreis) : (2·r) = π ⇒ u(Kreis) = 2·r·π
Weil die Seiten des Sechsecks die Länge r aufweisen, hat das Sechseck einen Umfang von 6r:
u(Sechseck)= 6·r
Die Kreiszahl π lässt sich nun mit den beiden Umfängen abschätzen:
Mit der Abbildung des in den Kreis einbeschriebenen Sechsecks ist ersichtlich, dass der Umfang dieses Sechsecks kleiner als der des Kreises ist. π muss also größer als die Zahl 3 sein.
Archimedes verdoppelte nun die Anzahl der Ecken und wählte ein Zwölf-Eck, dessen Umfang dem Kreisumfang noch ähnlicher wurde. Diese Verdoppelung führte er bis zu einem 96-Eck durch und fand damit heraus, dass π zwischen den Werten 3,140845 und 3,142857 liegen sollte.
Verglichen mit dem heute bekannten Wert von π ≈ 3,14159265…, lieferte die Annäherung über Vielecke, bereits vor über 2200 Jahren, ein erstaunlich gutes Ergebnis.
Die archimedische Schraube
Bildquelle: dreamstime.com
Mit einer ebenfalls nach Archimedes benannten Schraube, kann Wasser befördert werden und beispielsweise Felder bewässert oder Sumpfgebiete entwässert werden.
Bis heute sind derartige Anlagen im Einsatz.
Der Kampf um Syrakus und Archimedes‘ Tod
Archimedes letzte Jahre waren der Verteidigung von Syrakus (Sizilien) gegen angreifende römische Armeen gewidmet. Drei Jahre lang belagerten Seestreitkräfte die Stadt. Doch immer wieder wurden die römischen Angriffe von Kriegsmaschinen zurückgeworfen, die Archimedes entworfen hatte.
Beispielsweise hatte er einen Greifarm entwickelt, mit dem ein römisches Schiff gepackt, hoch gehoben, fallen gelassen und damit schwer beschädigt werden konnte. Bei dieser Konstruktion nutzte Archimedes die von ihm entwickelten Hebelgesetze aus.
Quelle: anderegg-web.ch
„Gebt mir einen festen Punkt, und ich hebe die Welt aus den Angeln.“
Mit solchen stolzen Worten soll er die von ihm erarbeiteten Hebelgesetze gepriesen haben. Mit diesen Formeln hatte er eine entscheidende Grundlage für die Entwicklung der Mechanik geschaffen.
Archimedes konstruierte auch Metallreflektoren, welche die Segel der angreifenden römischen Schiffe mit Hilfe von gebündelten Sonnenstrahlen vom Land her in Brand setzen konnten.
Trotz der genialen Verteidigungsgeräte von Archimedes gelang es den Römern im Jahre 212 v. Chr. nach dreijähriger Belagerung, die Stadt Syrakus zu erobern.
Wie üblich war Archimedes auch in dieser kriegerischen Zeit derart in seine mathematischen Überlegungen vertieft, dass er gar nicht bemerkte, was um ihn herum geschah. Als ihn ein plündernder römischer Soldat aufforderte ihm seine Wertsachen auszuhändigen, herrschte ihn Archimedes mit den Worten an:
„Noli turbare circulos meos“ (störe meine Kreise nicht).
Darüber verärgert erschlug der Römer das 75-Jährige Genie.
Aristoteles
Aristoteles (384 – 322 v. Chr.) gilt als einer der größten Philosophen, dessen Denken die Wissenschaft bis in die Neuzeit maßgeblich beeinflusste.
Sein Geburtsort Stagira gehörte zum Herrschaftsbereich der makedonischen Könige. Der Vater von Aristoteles war Leibarzt von König Amyntas II.
Im Jahre 342 v. Chr. wurde Aristoteles von König Philipp II., dem Sohn von Amyntas, zum Lehrer von Alexander, des Sohnes von Philipp berufen.
Der größte Feldherr des Altertums wurde also vom größten Denker dieser Zeit erzogen.
Als Alexander im Jahre 334 v. Chr. seine Feldzüge begann, benötigte er seinen Lehrer nicht mehr.
Aristoteles gründete daraufhin eine Schule in Athen, die er Lykeion nannte, weil er seinen Unterricht nahe des Tempels des Gottes Apollon Lykeios hielt.
Aus Lykeios entwickelte sich der moderne Name „Lyzeum“,
Die aristotelische Logik
Aristoteles war einer der Ersten, der sich systematisch mit der mathematischen Logik befasste.
Mit dieser Thematik wurde Ragin im Rahmen der „Philosophie der Mathematik“ vertraut. Weil das hier vorliegende Werk kein Lehrbuch ist, soll nur sehr kurz auf die Aussagenlogik von Aristoteles eingegangen werden. Aber Ragin hat diese Logik sein Leben lang begleitet und stets fasziniert.
Entsprechend der mathematischen Logik kann eine Behauptung nur „wahr“ oder „falsch“ sein, aber nicht beides zugleich.
Seien X und Y zwei Aussagen, so ist die sogenannte Konjunktion, die „und-Verknüpfung“ X ∧ Y, genau