букв О и Р. Человек в таком случае обычно избегает длинных серий повторяющихся букв, обе использует примерно поровну и переключается с О на Р и обратно чаще, чем когда это происходит случайно.
А как насчет вот такой последовательности?
О, Р, О, О, О, Р, Р, О, О, О, Р, О, О, О, О, Р, О, Р, Р, Р
Она выглядит вполне случайной, даже статистические методы анализа не заподозрят в ней дело рук человека. В действительности же она построена из десятичных знаков числа пи (без начальной тройки): О обозначает нечетные знаки, а Р – четные. Так являются ли знаки числа пи случайными? Формально нет, так как первый десятичный знак всегда 1, второй – всегда 4 и так далее, сколько бы раз вы ни пытались сгенерировать эту последовательность. Если нечто имеет постоянное место и неизменную величину (когда бы нам ни вздумалось на это нечто посмотреть), какая уж тут случайность? И все же математики задаются вопросом, можно ли считать десятичные знаки числа пи случайными статистически, то есть распределенными равномерно: другими словами, с одинаковой ли вероятностью в его записи встречаются все цифры по отдельности и все сочетания цифр (пары, тройки и так далее). Если да, то про пи можно сказать, что оно “нормально по основанию 10”. Именно так думает подавляющее большинство математиков. Считается также, что число пи “абсолютно нормально”, то есть не только его десятичные знаки статистически случайны, но и двоичные знаки (если его записать в двоичной системе, используя только нули и единицы), и троичные (если оно записано нулями, единицами и двойками) и так далее. Доказано, что почти все иррациональные числа абсолютно нормальны, но вот найти доказательство для конкретных случаев оказывается невероятно трудным делом.
Первый пример известного нормального числа по основанию 10 – постоянная Чемперноуна, названная так в честь английского экономиста и математика Дэвида Чемперноуна, который еще студентом в Кембридже опубликовал работу о ее значении. Чемперноун изобрел эту константу специально для того, чтобы доказать, что нормальные числа существуют, а заодно продемонстрировать, как легко такое число сконструировать. Его постоянная представляет собой просто-напросто цепочку, составленную из следующих друг за другом чисел натурального ряда: 0,1234567891011121314…, а потому содержит все возможные последовательности цифр в равных пропорциях. Десятую часть всех цифр константы составляют единицы, сотую часть всех пар цифр – пара 12 и так далее. Вот только, несмотря на нормальность этого числа по основанию 10, входящие в него цепочки цифр совсем не выглядят случайными (то есть неупорядоченными и непредсказуемыми), особенно в начале. Кроме того, нам неизвестно, является ли это число нормальным по какому-либо иному основанию, кроме 10. Существуют и другие константы, нормальность которых доказана, но все они, как и постоянная Чемперноуна, сконструированы нормальными искусственно. До сих пор не доказано, является ли число пи нормальным хотя бы по какому-то основанию.
Первые двести с небольшим знаков числа пи.
На