вероятность того, что септиллионный знак будет пятеркой, равна либо 1 (достоверное событие), либо 0 (невозможное) – другими словами, это или пятерка, или нет. Допустим, доказано, что число пи нормально, то есть мы точно знаем, что в составляющей его бесконечной цепочке знаков каждая из десяти цифр имеет одинаковую плотность распределения. Согласно байесовской интерпретации, отражающей нашу степень уверенности в том, что септиллионным знаком является именно пятерка, вероятность этого – 0,1 (ведь если число пи нормально, то любой его знак, пока он не вычислен, может с одинаковой вероятностью быть любой цифрой от 0 до 9). Но вот после того, как мы этот знак вычислим (если такое когда-нибудь произойдет), вероятность уже точно будет либо 1, либо 0. Фактическое значение септиллионного знака пи нисколько не поменяется, но вероятность того, что это пятерка, изменится – именно потому, что у нас будет больше информации. Информация играет определяющую роль в байесовском подходе: по мере повышения собственной информированности мы можем корректировать значение вероятности, делая его точнее. А при наличии полной информации (скажем, когда определенный знак числа пи вычислен) значения частотной и байесовской вероятности становятся одинаковыми – если мы возьмемся заново рассчитать уже вычисленный знак пи, ответ нам будет известен заранее. Зная все нюансы физической системы (в том числе некоторый элемент случайности, как, например, при распаде атомов радия), мы можем в точности повторить эксперимент и получить частотную вероятность, идеально совпадающую с байесовской.
И хотя байесовский подход кажется субъективным, он может быть строгим в абстрактном смысле. Предположим, у вас есть несимметричная монета: вероятность выпадения орла при ее подбрасывании может равняться какому угодно значению от 0 до 100 %, причем любое из них равновозможно. Бросаем ее первый раз – выпадает орел. Используя байесовскую интерпретацию, можно доказать, что вероятность выпадения орла при втором броске составляет ⅔. Но ведь начальная вероятность выпадения орла была ½, а монету мы не меняли. Байесовский подход позволяет рассуждать так: выпадение первого орла, конечно, не влияет напрямую на вероятность его выпадения при втором броске, но этот факт дает нам дополнительную информацию о монете, а с помощью этой информации мы уточняем свою оценку. Если монета сильно несимметрична в пользу решки, вероятность выпадения орла очень мала, а если сильно несимметрична в пользу орла, то вероятность его выпадения гораздо выше.
Байесовский подход также помогает избежать парадокса, впервые сформулированного в 1940-х годах немецким ученым-логиком Карлом Гемпелем. Когда люди видят, что один и тот же принцип (скажем, закон гравитации) исправно действует в течение долгого времени, они склонны делать вывод, что он с очень высокой вероятностью верен. Это так называемое индуктивное умозаключение, которое можно коротко сформулировать так: если наблюдаемое соответствует теории, то вероятность того,