lässt sich am Beispiel des Darlehens darstellen:
Tabelle 2: Tilgungsplan des Darlehens i.H.v. 151 631,47 Euro
| (in €) | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 |
|---|---|---|---|---|---|
| Darlehen zum 1.1. | –151 631,47 | 126 794,62 | –99 474,08 | –69 421,49 | –36 363,64 |
| Schuldzinsen zum 31. 12. | –15 163,15 | –12 679,46 | –9 947,41 | –6 942,15 | –3 636,36 |
| Tilgung aus Gewinn | 40 000 | 40 000 | 40 000 | 40 000 | 40 000 |
| Darlehen zum 31. 12. | 126 794,62 | –99 474,08 | –69 421,49 | –36 363,64 | 0 |
Nur wenn Herr Glück bei seiner Weltreise auf einige Annehmlichkeiten verzichtet, für sie (nur) 151 631,47 Euro aufwendet und diesen nun geringeren Konsum durch eine Kreditaufnahme finanziert, ist es ihm möglich, das Darlehen zuzüglich anfallender Zinsen vollständig aus dem Lottogewinn zurückzuzahlen. Damit zeigt sich: Der Ertragswert des Lottogewinns beträgt – bei 10 % Zinsen und nur dann – exakt 151 631,47 Euro.
Herr Glück musste 5 000 Euro investieren, um die Lose zu erwerben. Vermindert er nun den Ertragswert des Lottogewinns (151 631,47 Euro) um diese anfänglichen Investitionsausgaben, so erhält er den Kapitalwert der Investition i.H.v. 146 631,47 Euro, also den Betrag, um den Herr Glück durch den Lottogewinn tatsächlich reicher geworden ist:
KW0 = –I0 + EW0 = –5 000 + 151 631 = 146 631,47 €.
II. Rentenbarwertfaktor
1. Erläuterung
Der Rentenbarwertfaktor erleichtert das Berechnen des Ertragswerts. Er erlaubt es dem Bewerter, bestimmte Zahlungen zusammenzufassen und ihren Barwert in einem einzigen Rechenschritt zu ermitteln. Die Verwendung des Rentenbarwertfaktors (Rbf) setzt aber voraus, dass konstante Zahlungsströme (Cashflows in Form einer Rente) über eine bestimmte Anzahl von zusammenhängenden Perioden vorliegen und ein gleichbleibender Diskontierungszinssatz anzuwenden ist. In diesem Fall berechnet sich der Ertragswert der Rente zu Beginn des Rentenzeitpunkts mit:11
Der Rentenbarwertfaktor kann – bei Vorliegen eines in der Höhe konstanten Zahlungsstroms CF (Rente) über T Perioden und einem gleichbleibenden Diskontierungszinssatz – direkt aus der Gleichung (1) – Ertragswertformel – abgeleitet werden:12
Der Zeitindex (t) im Zähler kann dann entfallen, so dass gilt:
Werden nun beide Seiten der Gleichung mit (1 + i) multipliziert, so resultiert daraus:
Wird nun von dieser Gleichung die vorige subtrahiert, so folgt:
Und die Gleichung vereinfacht sich zu:
Wird nun der erste Term auf der rechten Seite (CF) mit
Die Multiplikation der beiden Seiten der Gleichung mit
Das Ausklammern von CF liefert die Formel zur Berechnung des Ertragswerts mithilfe des Rentenbarwertfaktors (Gleichung (5)):
2. Anwendung auf den Fall: Ertragswert und Rentenbarwertfaktor des Glücksspielgewinns von Herrn Glück
Herr Glück erhält aus dem Lottogewinn drei Zahlungsreihen: Zehn Jahre lang 8 000 Euro (beginnend am 31.12.2020), 15 Jahre lang 7 000 Euro (beginnend am 31.12.2030) und fünf Jahre lang 3 000 Euro (beginnend am 31.12.2045).
Der Bewerter kann den Barwert dieser Zahlungen im Einzelnen – Schritt für Schritt – ermitteln:
Er muss dann aber dreißig Zwischenwerte errechnen. Einfacher löst sich die Aufgabe unter Einsatz des Rentenbarwertfaktors. Der Rentenbarwertfaktor beträgt bei einem konstanten Alternativzins von 10 % und
| – bei einer Periode von zehn Jahren: | |
| – bei einer Periode von 15 Jahren: | |
| – bei einer Periode von fünf Jahren: |
Dabei ist noch zu beachten, dass der Bewerter unter Einsatz des Rentenbarwertfaktors einen Wert erhält, der dem Barwert der nachschüssig gezahlten gleichbleibenden Zahlungen zu Beginn des jeweiligen Zahlungszeitraums entspricht, ab dem die bewerteten konstanten Zahlungen fließen. Während also unter Verwendung des Rentenbarwertfaktors der Bewerter für die Zahlungen der ersten zehn Jahre den Barwert dieser Cashflows zum Bewertungsstichtag (1.1.2020) erhält, bezieht sich der Barwert des zweiten kontinuierlichen Zahlungszeitraums auf den 1.1.2030 und der Barwert der letzten Zahlungsperiode auf den 1.1.2045. Diese Barwerte sind ihrerseits noch einmal abzuzinsen, um zum Ertragswert des Lottogewinns zu gelangen. (Bei exakter Berechnung – ohne Rundung – ergibt sich der zuvor ermittelte Betrag.)
III. Annuitätenfaktor
1. Erläuterung
Weichen die Zahlungsströme einer Investition von den Konsumwünschen des Investors ab oder soll ein Vergleich mit anderen Zahlungsströmen erfolgen, kann auf einem vollkommenen und vollständigen Kapitalmarkt „rechnerisch durch Auf- und Abzinsung und praktisch durch Geldanlage oder -aufnahme die ursprüngliche Struktur einer Zahlungsreihe in eine andere Struktur“13 überführt werden, ohne dass der Kapitalwert sich ändert. Will der Bewerter unregelmäßige Zahlungen in eine Reihe uniformer Zahlungen überführen, so gelingt dies unter Einsatz der Annuitätenmethode. Sie transformiert die nicht uniforme Investitionsauszahlungsreihe in einen gleichbleibenden nachschüssigen Zahlungsstrom (Rente), indem sie den Kapitalwert durch den Rentenbarwertfaktor dividiert.14
Der Ertragswert einer gleichbleibenden, periodisch wiederkehrenden Zahlung lässt sich gemäß Gleichung (5) mit dem Rentenbarwertfaktor berechnen:
Wird