только в целочисленное время. Таким образом, с интуитивной точки зрения мы добились определенного прогресса; у нас есть более реалистичная модель для описания роста населения или численности выпускников физико-математических специальностей.
Рисунок 1.2. Популяционные значения из нелинейной модели.
Однако с математической точки зрения не всё так хорошо. В отличие от линейной модели, нет очевидной формулы для
, которая возникала бы из составленной таблицы. На самом деле, единственный способ получить значение
, по-видимому, заключается в создании таблицы с сотней записей в ней. Утратилась легкость, с которой можно было бы предсказывать будущие значения популяции.
Это то, с чем приходится мириться: хотя нелинейные модели более реалистичны, зачастую не представляется возможным получение явных формул для решения нелинейных дифференциальных уравнениях. Вместо этого используются графические методы и численные эксперименты для того, чтобы получить общее представление о поведении модели.
Первый из таких методов называется «Паутина». Паутина является основным графическим методом для понимания математической модели дискретного логистического уравнения. Это лучше всего проиллюстрировать на примере.
Рассмотрим еще раз модель
, а также диагональной линии
, как показано на рисунке 1.3. Так как популяция начинается с
, отмечаем это значение на горизонтальной оси графика. Теперь, чтобы найти
, просто двигаемся вертикально вверх по графику параболы, чтобы найти точку
, как показано на рисунке.
Далее хотелось бы найти
на горизонтальной оси. Самый простой способ сделать это – двигаться горизонтально от точки
до диагональной линии. Когда достигнем диагональной линии, окажемся в
, просто двигаемся вертикально назад к параболе, чтобы найти точку
. Теперь это просто вопрос повторения этих шагов навсегда: двигаться вертикально к параболе, затем горизонтально к диагональной линии, затем вертикально к параболе, затем горизонтально к диагональной линии и так далее.
Рисунок 1.3. Паутинная диаграмма нелинейной модели.
Судя по графику ясно, что если начальная популяция
лежит в диапазоне от 0 до
, то модель с
и
приведёт к постоянно растущему значению популяции, которое приближается к предельному значению пропускной способности равному 10.
Если оставить те же значения
и
, но положить
, то паутина будет выглядеть так, как показано
