Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I. Денис Владимирович Соломатин

образом, если

 является какой-либо функцией, то

 называется разностным уравнением. В предыдущем примере использовалась

, но часто

 будет более сложным.

      Изучая разностные уравнения и их приложения, рассмотрим два основных вопроса: 1) Как найти подходящее разностное уравнение для моделирования ситуации? 2) Как понять поведение модели разностных уравнений после того, как её нашли?

      Обе эти задачи бывают довольно трудны. Тем не менее, обязательно научитесь моделировать с помощью разностных уравнений, глядя на математические модели, используемые разными авторами в классической литературе, а затем создадите собственные модели. Однако, честно говоря, это не обязательно исключит столкновение с принципиально неразрешимой проблемой. Что касается понимания поведения, которое моделируется разностным уравнением, то обычно не представляется возможным найти явную формулу, как было сделано выше для

, описывающего численность популяции в мальтузианской модели. Вместо этого разрабатываются методы извлечения менее точной, но качественной, а не количественной информации из модели.

      Конкретное разностное уравнение, обсуждаемое в этом разделе, иногда называют экспоненциальной или геометрической моделью, поскольку модель приводит к экспоненциальному росту и ассоциируется с именем Томаса Мальтуса. Математики, однако, склонны сосредотачиваться на форме уравнения

 и говорить, что модель линейна. Такая терминология может сбивать с толку, но она важна, когда линейная модель описывает экспоненциальный рост или убывание.

      Задачи для самостоятельного решения:

      1.1.1. Популяция изначально составляла 100 особей, но из-за комбинированного воздействия рождений и смертей она утраивается каждый час.

      а. Составьте таблицу численности популяции для

 пробегающего значения от 0 до 5, где

 измеряется в часах.

      б. Приведите два уравнения, моделирующих рост популяции, сначала путем выражения

, а затем выразив

.

      в. Что можно сказать об уровнях рождаемости и смертности среди населения вашей страны? Земного шара?

      1.1.2. На ранних стадиях развития в развивающихся странах открытие новых школ происходит с достаточно регулярной скоростью. Предположим, что количество школ удваивается примерно каждый месяц.

      а. Запишите уравнение, моделирующее эту ситуацию. Уточнив, сколько реального времени представлено шагом 1 в параметре

 и каково было начальное количество школ в период новейшей истории.

      б. Заполните таблицу и нарисуйте график числа школ в зависимости от

.

      в. Сопоставьте полученные результаты с официальными данными Росстата. Это соответствует вашей модели? Какие выводы и/или вопросы это вызывает?

      1.1.3. С помощью ручного калькулятора составьте таблицу значений численности