Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I. Денис Владимирович Соломатин

поэтому можно встретить подстрочный индекс

 рядом с

 приращение

 оказывается разным. Тем не менее, этот индекс не редко пропускают.

      Теперь то, что нас в конечном итоге волнует, это понимание динамики популяции

. Но

. Объединив константы вместе, обозначив за

, модель стала гораздо проще:

.

      Популяризаторы науки часто называют константу

, называется разностным уравнением, а второе, задающее

, является его начальным условием.  С этими двумя уравнениями легко составить таблицу значений численности

 с течением времени, как в таблице 1.1.

      Таблица 1.1. Рост популяции по простой модели

      Момент времени         Численность

      0                                          500

      1                                          (1. 07)500 = 535

      2                                          (1. 07)²500 = 572.45

      3                                          (1. 07)³500 ≈ 612.52

      …                                         …

      По закономерностям в таблице 1.1 легко перейти от рекуррентного соотношения для

 в явном виде:

. На этой модели теперь легко предсказать численность популяции в любое время.

      Может показаться странным называть

 там не появляется. Однако уравнения

 и

 эквивалентны, поэтому любое из них разумно определять одним и тем же термином.

      Пример. Предположим, что система математического образования имеет очень жесткие ограничения на целевые цифры приёма в ВУЗы (что вполне реалистично на просторах СНГ), по которым каждый год выпускается 200 молодых специалистов и все сотрудники пенсионного возраста уходят на заслуженный отдых. После того, как состоялся очередной выпуск, только 3% остаются работать по специальности, чтобы связать свою профессиональную деятельность с математикой, остальные либо эмигрируют, либо находят выше оплачиваемую работу. Чтобы написать разностное уравнение в этой системе, где будем измерять

 в поколениях, нужно просто заметить, что уровень «смертности» равен

, в то время как эффективная «плодовитость» системы равна

. Следовательно,

.

      Вопросы для самопроверки:

      – Будет ли общая численность математиков расти, а не уменьшаться при таких условиях?

      – Предположим, вы не знаете эффективной