то получим
. Проиллюстрировать тот факт, что
можно выбрав несколько значений
при малом
и сравнив значения
с
. Этот результат легко доказать формально:
.
д. Докажите, что решением уравнения
при начальном условии
является
.
Как это согласуется с формулой для выражения
в модели разностного уравнения
в каждой из выведенных выше формул «конечной скоростью роста», в то время как
называется «собственной скоростью роста».
1.2. Нелинейные модели
Мальтузианская модель предсказывает, что рост числа обучаемых математиков будет экспоненциальным. Однако такое предсказание не может быть оставаться точным продолжительное время. Ведь экспоненциальные функции растут быстро и без ограничений; и, согласно такой модели, рано или поздно математиков окажется больше, чем количество атомов во Вселенной. Модель, разработанная в данном разделе, должна дополнительно учитывать какой-то важный фактор. Чтобы быть более реалистичными в моделировании, нужно пересмотреть предположения, которые вошли в модель.
Главный недостаток заключается в предположении о том, что параметры
(доля выпускающихся молодых специалистов) и
. Комбинируя эти факторы, можно сказать, что по мере увеличения численности
конечные темпы её роста должны уменьшаться. Поэтому нужно как-то модифицировать модель так, чтобы темпы роста зависели от текущей численности; то есть скорость роста должна зависеть от так называемой «плотности».
Вопросы для самопроверки:
– Какие факторы могут стать причиной изменения плотности? Почему большое значение численности
?
Для создания нелинейной модели, чтобы спроектировать более адекватную модель, проще всего сфокусироваться на относительной величине
, показывающей долю изменения численности на общее число, то есть на темпе роста популяции за один шаг времени. Как только поймем от чего зависят темпы роста общей численности на одного человека и найдем формулу для их описания, сможем получить из этого итоговую формулу для
.
При небольших значениях
темпы роста на человека должны быть большими, можно представить себе небольшой элитарный клуб интеллектуалов с большим количеством ресурсов, доступных в его среде для поддержки дальнейшего роста численности. Однако для больших значений
