Методы и средства обеспечения безопасности полета. В. Б. Живетин

параметром, определяющим допустимые расходы, выступает произведение τП. На рис. 1.17 представлен график зависимости (1.16).

      Теперь, исключив величину δ_n из системы (1.14), получим одно дифференциальное уравнение второго порядка относительно δ_e(t):

      Рис. 1.17

      После определения величины δ_e из уравнения (1.17) неизвестная величина δ_n может быть определена из первого уравнения (1.14). Если решение (1.17) получено численно, то для вычисления δ_n необходимо использовать третье уравнение из (1.14), поскольку численное дифференцирование δ_e приводит к появлению существенных погрешностей.

      Если коэффициенты уравнения (1.17) постоянны, то несложно получить его аналитическое решение. Для этого запишем характеристическое уравнение

      τ_Dτ_kλ² + (τ_D + τ_k) λ + [1 – (1 – γ)(1 + П*)] = 0,           (1.18)

      решения которого

      Если равенство (1.15) не выполняется, то в зависимости от величины и знака дискриминанта Δ корни λ_1,2 будут вещественными или комплексными. Введем следующие обозначения:

      a = τ_D + τ_k; b = 4τ_Dτ_k [1 – (1 – γ)(1 + П*)].

      Тогда А = a² – b.

      Величина a, как правило, положительна. Она будет отрицательна, если одна из величин – τ_D или τ_k – отрицательна, и при этом τ_D + τ_k < 0. Это означает, что рассматривается процесс не с запаздывающим, а с опережающим аргументом. Например, выданные в кредит деньги возвращаются не после, а до выдачи кредита. Эти и аналогичные им случаи здесь не рассматриваются. Примем, что a > 0 всегда.

      Величина b может быть как положительной, так и отрицательной. В зависимости от соотношения величин a² и b дискриминант Δ может иметь разный знак.

      Рассмотрим следующие случаи.

      При a² > b дискриминант Δ > 0, и оба корня уравнения (1.18) вещественны. В этом случае общее решение уравнения (1.17) имеет вид

      δ_e = exp(–at)[((c₁ + c₂)/2)exp(ct) + ((c₁ c₂)/2)exp(–ct)],          (1.20)

      где c =

=

. Постоянные c₁ и c₂ зависят от начальных данных δ_e0 и

и параметров системы следующим образом:

      Случай b = 0 соответствует равновесному состоянию рассматриваемой системы, при этом выполняется условие (1.15), Δ = a² и λ₁₂ = –a ± a, то есть λ₁ = 0, λ₂ = –2a. Тогда общее решение (1.20) запишется в виде

      δ_e = (c₁ + c₂) / 2+((c₁ – c₂) / 2)exp(–2at).

      Равновесное состояние δ_e = (c₁ + c₂) / 2 реализуется при любом значении t, если имеет место равенство c₁₌c₂. Если же c₁ ≠ c₂, то в силу того, что a > 0, данное состояние реализуется для больших значений t, при этом

      δ_e ≈ (c₁+c₂) / 2,          (1.21)

      а при t, стремящемся к бесконечности, условие δ_e=(c₁+c₂) / 2 соблюдается независимо от значений c₁ и c₂. Таким образом, состояние δ_e=(c₁+c₂) / 2 обладает устойчивостью финансового потока по отношению к начальным возмущениям (рис. 1.18).

      Рис. 1.18

      При