Методы и средства обеспечения безопасности полета. В. Б. Живетин

      Очевидно, что модель (1.31) пригодна для использования в качестве математической модели только в том случае, если она устойчива. Покажем, что это так. Для этого проанализируем состояние микроавиационной системы без влияния внешних воздействий (Q*(t)=0), при этом уравнение (1.31) представим в виде

      Это уравнение описывает свободные изменения оборотного капитала D(t) микроавиационной системы. В общем случае при малых начальных возмущениях процесс D(t) может быть либо сходящимся (к D(t₀)), что будет означать устойчивость, либо расходящимся – в противном случае.

      В соответствии с теорией систем [28, 29] уравнение (1.31) при Q*(t)=0 имеет общее решение D(t)=c₁ exp(λ₁t)+c₂ exp(λ₂t), где λ₁ и λ₂ – корни характеристического уравнения

      λ²+2nλ+k²=0.

      Покажем, что эти корни действительны и различны, т. е. λ_1,2=–n ± , где (n² – k²) > 0.

      С учетом того, что 2n=(2τ+τ₀)/(τ(τ+τ₀)) и k²=1/(τ(τ+τ₀)), разность n² – k²={τ³₀ : [4τ(τ+τ₀)]} > 0, поскольку τ > 1, τ₀ ≥ 1. Кроме того, полученным значениям n и k соответствуют отрицательные собственные значения.

      Сказанное говорит об устойчивости системы (1.31) в соответствии с теорией систем. Это означает, что при принятых условиях микроавиационная система устойчива. При этом оборотный капитал микроавиационной системы при δ_k(t)=0 останется неизменным, т. е. микроавиационная система, не выделяющая кредиты, не может быть убыточной или прибыльной. При отсутствии прибыли нет и всех тех расходов, которые включены в расходную часть δ_e(t). Отметим, что в соответствии с существующим законодательством не все налоги оплачиваются, исходя от прибыли. Это, в свою очередь, означает, что модель (1.31) не совсем верна, поскольку при δ_k(t)=0 выполняется условие δ_н(t)=0. Для более тщательного анализа необходимо принять δ_н(t)=γ₃Aδ_k(t – τ)+c₁, где c₁ – постоянная величина, определенная с учетом действующего законодательства.

      С учетом сделанных выводов решение (1.31) запишем в виде

      где ch(·) и sh(·) – гиперболические косинус и синус соответственно. Первое слагаемое D₁(t)=[D₀ch(λt)+(+nD₀)sh(λt) / λ]e^–nt в терминах теории систем описывает свободные колебания, что для микроавиационной системы означает изменение оборотного капитала. В силу устойчивости системы (1.31) эти изменения удовлетворяют следующим условиям:

      С их учетом второе слагаемое D₂(t) в (1.32) примет форму

      Условия прибыльности и убыточности

      Определим, при каких ограничениях, накладываемых на параметры системы, и каких управлениях имеют место:

      – прибыльность > 0, где t₁ – момент времени, начиная с которого микроавиационная система начала давать прибыль;

      – убыточность < 0, где t₂ – момент времени, начиная с которого микроавиационная система стала убыточной;

      – крах [K_y(t₀)+D(t₃)] ≤ 0, где t₃ – момент времени, начиная с которого капитал K_y(·) за счет оборотных средств D(t₃) стал нулевым или отрицательным.

      Очевидно, что для различных значений времени микроавиационная система может быть прибыльной либо убыточной до тех пор, пока не произойдет третье событие, означающее разорение