Riemann-hypotese for siden at indse en fejl i argumentet – Riemann-hypotesen er stadig blandt matematikkens syv største uløste problemer.
I sit videre arbejde med Dirichlet-rækker stødte Harald Bohr på et problem, som han hurtigt kastede sig over for fuld kraft. Det drejede sig om en type funktioner, som han valgte at kalde »næsten-periodiske funktioner« – de har en del lighedspunkter med de periodiske (trigonometriske) funktioner, som studeres gennem såkaldt Fourier-analyse. Bohr begyndte at generalisere Fourier-analysen til denne nye klasse af næsten-periodiske funktioner. Andre matematikere havde studeret andre generaliseringer, men Bohr kom uafhængigt til at betragte sin klasse af funktioner. Snart fængede emnet, og Bohr fik kontakt med en række yngre matematikere, som fra 1925 tilbragte tid i København, ofte finansieret af stipendier fra de amerikanske filantropiske fonde Rockefeller Foundation og International Education Board. I løbet af mellemkrigstiden lancerede Bohr sin teori under international bevågenhed igennem sin omfattende rejseaktivitet og korrespondance.
Harald Bohr blev ansat som professor på Universitetet i 1929 og tiltrak igennem sit virke en række danske studenter. Det årlige optag af studerende på Det matematisk-naturvidenskabelige Fakultet var cirka 20, hvoraf halvdelen specialiserede sig i matematik, og hovedparten heraf hos Harald Bohr.12 Harald Bohrs studenter synes at have udgjort en meget tæt sammentømret gruppe, der arbejdede med problemer inden for næsten-periodiske funktioner sammen med professoren, gæster og assistenter. Blandt disse var ungareren Julius F. Pál, som var Harald Bohrs assistent i perioden 1925 til 1938, og Svend Bundgaard, der overtog efter Pál og senere grundlagde Matematisk Institut i Århus (se kap. 12 og nedenfor). Mest lovende blandt de danske studenter var Børge Jessen, der af Harald Bohr blev beskrevet som »dansk Matematiks unge, opdukkende Stjerne«.13 Jessen blev i 1934 en af de to danske modtagere før 1945 af et rejsestipendium fra Rockefeller Foundation, og det brugte han til et ophold i USA.14 Jessen bidrog væsentligt til at udvikle teorien om næsten-periodiske funktioner. Ved den internationale matematikerkongres i Amsterdam 1954 var Jessen en af talerne i en en-times plenar-session, en stor ære, som kun er overgået to danskere siden.15
Både Jessen og en anden ung mand i gruppen – Erling Følner, som senere skulle blive Harald Bohrs svigersøn – modtog finansiel støtte fra Carlsbergfondet på Harald Bohrs foranledning. Jessen, Følner og nogle af de udenlandske gæster skrev artikler sammen med Harald Bohr ud fra de specielle områder af teorien, som interesserede dem. Der tegner sig således et billede af en meget stærkt – socialt og fagligt – integreret gruppe omkring Harald Bohr og de næsten-periodiske funktioner. Gruppen omfattede også Thøger Bang og Hans Tornehave, der begge skulle blive professorer ved Københavns Universitet umiddelbart efter Harald Bohrs død. Det spillede utvivlsomt en rolle for gruppens arbejde, at den fik nye institutionelle rammer, som det vil fremgå af det følgende.
De andre matematikprofessorer ved Universitetet, Nørlund og Hjelmslev, udviklede ikke på samme måde som Bohr forsknings- og studiegrupper med deres studerende i mellemkrigstiden, ligesom de studerende heller ikke interagerede ret meget på tværs mellem grupperne.16 At det lykkedes Harald Bohr at opbygge en virksom og internationalt orienteret forskningsgruppe, skyldes således sikkert også hans personlige egenskaber. Harald Bohr engagerede sig meget aktivt i internationalt samarbejde, han var meget omgængelig og i stand til at snakke med kolleger om mange forskellige ting.17
Harald Bohr skabte en speciel forskningstradition, en skole, inden for specielle områder af analyse og analytisk talteori ved Københavns Universitet, som kom til at præge dansk matematik i en meget lang periode. Som beskrevet i bind 3 går interessen for disse emner tilbage til Jensen, men under Bohr og hans elever fik matematikerne muligheden for en egentlig skoledannelse – blandt andet ved indrettelsen af et matematisk institut. Gennem interaktion nationalt (i Matematisk Forening og på Matematisk Institut) og internationalt (ved rejser og gæster) etableredes og udbredtes forskningstraditionen. Denne indsats var bevidst fra især Bohrs side, og som følge deraf har København stadig en stærk tradition inden for disse områder.
Harald Bohr, Rockefeller og hjælpen til tyske emigranter
En stor del af den succes, som Harald Bohrs forskningstradition nåede, skyldtes veludviklede internationale kontakter; internationalitet var en meget vigtig hjørnesten af Bohrs tilgang til matematik i mellemkrigstiden. En del af denne internationalitet fandt udtryk i hans meget aktive lobbyarbejde for at få de tyske matematikere genoptaget i det internationale samarbejde, som de var blevet udelukket fra efter første verdenskrig. På dette punkt var Bohr i opposition til nogle af sine kolleger – ikke med hensyn til formålet, men med hensyn til midlet. Bohr argumenterede for, at så længe der ikke var etableret normale forbindelser mellem matematikerne efter krigen, skulle Danmark vise sin sympati med de udelukkede tyske matematikere ved at holde sig uden for det internationale samarbejde. På dette punkt stod han i modsætning til Nørlund, der talte varmt for, at Danmark skulle indtræde i det internationale samarbejde for derigennem at påvirke det til at ændre holdning til tyskerne. På kort sigt havde Bohr succes, men allerede i 1921 besluttede de danske matematikere at arbejde frem imod indtræden i den internationale matematikerunion.18
Der er imidlertid to andre varianter af denne internationalitet, som fortjener større uddybning: udenlandsk filantropi og hjælpen til tyske emigranter i mellemkrigstiden.
Som det fremgår af andre kapitler (3, 4, 9, 17), var Rockefeller Foundation kraftigt medvirkende til institutionaliseringen af dansk videnskab i 1920’erne med store pengebidrag til opførelsen af nye institutbygninger. Dette var imidlertid ikke tilfældet for matematikken i Danmark, selv om Rockefeller Foundation stod bag opførelsen af matematiske institutter i Göttingen og Paris. Derimod var en anden del af den amerikanske filantropi særdeles vigtig for matematikerne i København. Tilsammen finansierede Rockefeller Foundation og International Education Board 130 matematikeres rejsestipendier før 1945. Blandt disse var der ‘kun’ to danske udlandsrejser, men hele 11 udlændinge besøgte København på et af disse stipendier, fem af dem inviteret af Harald Bohr og tre for at besøge Nørlund.19 Dette var medvirkende til at udbrede kendskabet til Harald Bohrs forskning inden for næsten-periodiske funktioner i udlandet. De danske matematikere (og Niels Bohr) indgik også centralt i den uformelle vejledningsgruppe sammen med Hardy, som hjalp International Education Board og dets udsending Trowbridge med at vurdere tilstanden af matematik i Europa. De danske matematikere udnyttede denne kontakt både til at fordre egne ønsker, men også til at knytte og vedligeholde personlige venskaber og netværk, vigtigst til Hardy og Oswald Veblen og til deres tyske kolleger.
Med nazisternes magtovertagelse i Tyskland i 1933 begyndte et nyt kapitel for internationaliseringen af videnskab generelt og matematik helt specifikt. Tyskland var på dette tidspunkt den afgjort førende nation inden for matematik, og især den lille universitetsby Göttingen dominerede med mange fremragende forskere og (siden 1929) et fornemt matematisk institut finansieret af Rockefeller Foundation. Dette skulle dog drastisk ændres i forbindelse med den såkaldte Reichsgesetz, »loven om rekonstruktion af statsadministrationen«, fra april 1933, som »fritog« ikke-ariere fra deres stillinger i den offentlige sektor. Denne lov blev strammet yderligere i 1935, hvor man fratog jøder deres tyske statsborgerskab, forbød ægteskab mellem jøder og tyskere og ophævede en række undtagelser til Reichsgesetz.20 Med fritagelserne i april 1933 begyndte en emigration af tyske (især jødiske) matematikere, som nu stod uden arbejde. Der var ikke i resten af verden umiddelbart plads til at optage de mange arbejdsløse kolleger, men Harald Bohr og hans netværk gjorde et stort arbejde for at finde muligheder for dem. I begyndelsen handlede det især for de danske matematikere om at hjælpe deres venner og bekendte. Harald Bohr prøvede ihærdigt at lokke Landau fra Göttingen, men selv om dennes undervisning blev saboteret af nazisterne, forblev Landau i Tyskland. Anderledes med f.eks. Courant og Dehn, der begge efter korte ophold i København blev hjulpet videre til USA. Men der var også nogle af de tyske matematikere, som blev i København i længere tid; Werner Fenchel blev der f.eks. til sin død. Mest betydningsfuld for internationaliseringen var måske østrigeren Otto Neugebauer, som første gang besøgte København i 1924 for at arbejde sammen med Harald Bohr. Neugebauer var siden blevet ansat ved instituttet i Göttingen, og da Courant blev afskediget som direktør