del Renacimiento.30
Euclides supone que las longitudes de los segmentos paralelos AC, FH, GI y BD son iguales y pide imaginar que A, F, G, B se encuentran en la misma recta AB, en tanto que C, H, I, D lo están en la recta CD (paralela a AB) (véase figura 1.2).
Fuente: Elaboración del autor. La figura cuenta con modelación en el micrositio.
Dado que AC está más cerca del observador O que FH, y este más cerca que GI y GI más cerca que BD, debe ocurrir —en virtud del teorema anterior— que AC parece mayor que FH, este mayor que GI y GI mayor que BD. En consecuencia, los segmentos transversales, aunque de igual longitud, parecerán menores cuanto más lejos se encuentren del ojo O.
Así las cosas, las rectas paralelas AB y CD perderán la apariencia de paralelas y se verán en el campo visual de O como si fuesen convergentes.
De igual modo, si O se halla en un plano más elevado que el de ABDC, los resultados siguen siendo los mismos, en tanto que BD parecerá estar en una posición más elevada que GI, este segmento en una más elevada que FH y este en una más elevada que AC (teorema 4, proposición 10).
Teorema 3 (Proposición 8). Las dimensiones aparentes de los objetos no son inversamente proporcionales a las distancias de ellos al ojo. Podemos sentirnos inclinados a esperar, en primera aproximación, que un objeto ubicado n veces más lejos que otro de igual tamaño y en idéntica distribución con respecto al eje visual, aparezca en nuestro campo visual como si fuese n veces menor, como se asume en la representación perspectiva ideada en el Renacimiento. Este, sin embargo, no es el caso, si el tamaño aparente se juzga a partir de la amplitud angular del cono de Euclides.
Sean AB y CD dos objetos de idéntica longitud, ubicados perpendicularmente al eje visual OA y a distancias disímiles del observador O (véase figura 1.3). Euclides demuestra, en un lenguaje diferente al que transcribo aquí, que si AO = nCO, tan (β) = ntan (α); pero de allí no puede inferirse que β = nα, salvo si se trata de ángulos muy pequeños.
Fuente: Elaboración del autor. La figura cuenta con modelación en el micrositio.
El comportamiento de la amplitud angular (trazo continuo) y de la tangente de dicha amplitud (trazo discontinuo) en relación con la distancia del objeto al observador puede apreciarse en la gráfica de la figura 1.4.31 La amplitud angular no es inversamente proporcional a la distancia (como sí lo es la tangente de dicha amplitud); salvo quizá, con cierto nivel de aproximación, para distancias grandes, para las cuales la amplitud angular es muy pequeña.
Erwin Panofsky ha llamado la atención acerca de la dificultad que introduce esta proposición en el marco de los esquemas conceptuales que orientan la perspectiva renacentista (1927/2003, pp. 19-20).
Teorema 4 (Proposiciones 10, 11, 13, 14). Cuando el ojo se encuentra en un plano diferente a los objetos que divisa, ocurre que si el ojo está por encima, los objetos más alejados parecerán más elevados, y si está por debajo, dichos objetos parecerán más bajos.
Figura 1.4. Comportamiento de la amplitud angular con la distancia
En trazo continuo se representa el comportamiento de la amplitud angular; en trazo discontinuo, el de la tangente de dicha amplitud.
Fuente: Elaboración del autor. La figura cuenta con modelación en el micrositio.
Supongamos que el observador O, desde un plano más elevado, contempla los puntos B, C, D sobre la misma recta, con D más alejado que B (véase figura 1.5). Al trazar los rayos visuales dirigidos a dichos puntos, el observador notará que cruzan la perpendicular a AD, trazada por Z, en el siguiente orden de abajo a arriba: B′, C′, D′. En forma análoga, al contemplar E, F, G desde un punto más bajo, los objetos más alejados aparecerán más bajos.
El razonamiento es interesante, toda vez que la recta ZE′ cumple el mismo papel que siglos más adelante desempeñará el velo de Alberti.32 También se puede advertir que el punto al que parece que convergen las paralelas AD y EG ha de encontrarse a la misma altura de O.
Teorema 5 (Proposiciones 22-27). Cuando observamos una esfera, ella tiene la apariencia de un círculo en un plano perpendicular a la recta que une el ojo y el centro de la esfera. Además, el radio de tal círculo es menor que el radio aparente que le hubiese correspondido a la esfera completa.
Fuente: Elaboración del autor. La figura cuenta con modelación en el micrositio.
Imaginemos el observador en el punto O y la esfera de centro A, cuyo corte con uno de los planos que contiene la recta AO produce la circunferencia de radio AB (véase figura 1.6). La circunferencia de diámetro AO en el plano mencionado corta a la esfera en los puntos B y D, que son precisamente los puntos en los que OB y OD son tangentes a la esfera en el plano que hemos acotado.
Figura 1.6. Teorema 5. a. Visión de una esfera; b. esfera reducida
Fuente: Elaboración del autor. Las figuras cuentan con modelación en el micrositio.
Si hacemos girar BC en torno al eje AO, surge un círculo en un plano perpendicular a AO. Este círculo determina la parte visible de la esfera para un observador en O. Ninguno de los puntos de la esfera entre B y E o D y F podrá ser visto, pues allí no incide ningún rayo que no sea oculto por el cono OBD (postulado 3).
Por otra parte, dado que BD es menor que EF, el diámetro del círculo aparente resulta menor que el diámetro de la esfera.
La proposición 22 sugiere que los puntos de la esfera entre B y D dan la apariencia de un segmento de recta en el plano perpendicular a AO. La argumentación es correcta si asumimos que la esfera está tan alejada que perdemos de vista la convexidad o no podemos apreciar matices singulares, como sombras o texturas en la superficie. Este teorema singular explica por qué el Sol y los planetas, pese a su esfericidad, se observan como discos circulares de diámetros menores que los que corresponderían a las semiesferas completas.33
Si O se acerca a la esfera, la diferencia de tamaños entre BD y EF