un esquema geométrico que es neutral frente al compromiso extra o intramisionista.
Podemos llegar a familiarizarnos con dicho esquema a la manera de un órgano o instrumento, que puede usarse como herramienta conceptual para perfilar, en una forma más clara, los problemas que atañen a la percepción. El tratado de Óptica es un compendio de 7 definiciones y 58 proposiciones derivadas. Las definiciones, que incluyen sin diferenciar postulados o axiomas, son, en su orden (Euclides, trad. en 2000a, pp. 135-136):
1. Las rectas trazadas desde el ojo se extienden a lo largo de grandes extensiones.
2. La figura, objeto de contemplación, se halla en la base del cono que tiene al ojo por vértice, y a las rectas desde allí trazadas, por el contorno del mismo.
3. Se ven los objetos en los que los rayos así trazados inciden y no se ven aquellos en los que dichos rayos no inciden.
4. Los objetos que se ven bajo un ángulo mayor parecen mayores; los que se ven bajo un ángulo menor, menores, y los que se ven bajo ángulos iguales, iguales.
5. Los objetos que se ven bajo ángulos más elevados parecen más elevados y los que se ven bajo ángulos más bajos parecen más bajos.
6. Los objetos que se ven bajo rayos más a la derecha parecen más a la derecha y parecen más a la izquierda los que se ven bajo rayos más a la izquierda.
7. Los objetos que se ven bajo un mayor número de rayos aparecen con mayor precisión.
El primer postulado, en reunión con el tercero, formula la propuesta en un lenguaje claramente extramisionista; sugiere que hay rayos visuales que emanan del ojo y nos permiten contemplar todos los objetos que caen en el interior del cono formado por dichos rayos. Esta, por ejemplo, es la valoración de Heath:
[La obra de Euclides] comienza de manera ortodoxa con definiciones, la primera de las cuales involucra la misma idea del proceso de visión que nosotros encontramos en Platón, esto es, que ella es debida a rayos que proceden de nuestros ojos e inciden sobre los objetos (1921/1981, vol. 1, p. 441).24
Aun cuando se trata de la lectura más cómoda, dado que acompañamos a Euclides en los compromisos ontológicos que parece asumir, no hay en el texto del geómetra algo que nos impida pensar que el cono pueda entenderse, y de hecho ser útil, a partir de rayos que se dirigen desde el objeto hasta el ojo. Mostramos, en el capítulo, que es posible hacer una lectura neutral del tratado, una lectura que no exija un compromiso ontológico en relación con los rayos que constituyen el cono visual. La primera definición habla de “rectas trazadas desde el ojo” como si aludiera a dibujos auxiliares, más que a la emanación de fluidos.
Es posible que esta neutralidad ontológica moleste al más férreo de los aristotélicos, que quisiera escudarse, por ejemplo, en el siguiente pasaje del estagirita: “mientras la geometría estudia la línea física, pero en tanto que no es física, la óptica estudia la línea matemática, no en tanto que matemática, sino en tanto que física” (Aristóteles, trad. en 1995, II, 194a10-11). Proponemos, pues, interpretar los rayos de Euclides, no en tanto rayos físicos, sino en cuanto instrumentos matemáticos que podrían interpretarse como el trayecto de efluvios que viajan o bien desde el ojo hasta el objeto, o bien desde el objeto hasta el ojo.
Con el ánimo de aligerar la presión que deviene del lenguaje extramisionista usado por Euclides, podemos esgrimir el hecho de que, en la primera definición, el autor introduce una cláusula hipotética y sugiere que los rayos visuales son trazos que podrían tener solo realidad en la imaginación. Veamos con atención cómo introduce el autor la definición mencionada: “Supóngase que las líneas rectas trazadas a partir del ojo se propagan a lo largo de un espacio de grandes magnitudes” (Euclides, trad. en 2000a, p. 135; las cursivas son nuestras). Así las cosas, la definición 1 puede parafrasearse en estos términos: “Demos por sentado que las líneas rectas que se trazan desde la vista se prolongan a una distancia de inmensas proporciones”.25
La definición 3 sugiere que vemos solo aquellos objetos opacos que interrumpen el trazo continuo de los rayos, es decir, aquellos objetos sobre los que inciden los rayos visuales. En el lenguaje intramisionista, tendríamos que decir que vemos aquellos objetos desde donde imaginamos líneas rectas trazadas hasta el ojo sin interrupción alguna; vemos el objeto si los rayos trazados desde él convergen en el ojo.
Las definiciones 4-7 sugieren que el tratado versa sobre cómo aparecen ante a mí los objetos visualmente perceptibles.
El texto es, entonces, un tratado de las apariencias visuales y de los instrumentos de control geométrico, a partir de los cuales emitimos juicios acerca de los objetos que activan dichas apariencias. Los objetos que delimiten una pirámide de mayor amplitud angular tienen, para el observador, la apariencia de objetos mayores, con independencia de si son realmente de menor tamaño, salvo que se hallan muy cerca del observador. La amplitud angular es el principal recurso geométrico para juzgar la apariencia.
El cono (o pirámide) de Euclides es un instrumento que comporta la siguiente combinación de elementos: 1) la propagación rectilínea de los rayos visuales, sin importar cuál es su naturaleza o la dirección de su propagación; 2) la transmisión inmediata de la información asociada a dichos rayos;26 3) el ojo se encuentra en el vértice del cono (o pirámide); 4) el objeto observado, o parte de él, ocupa la base del cono; 5) el tamaño aparente del objeto visto y su ubicación en el campo visual dependen, primero, de la amplitud angular del cono: si esta es mayor, mayor será el tamaño aparente del objeto; y, segundo, de la dirección del eje del cono;27 y 6) la claridad de la visión depende del número de rayos visuales que inciden sobre el objeto (o convergen sobre el ojo).
A partir de las siete definiciones (postulados), Euclides infiere 58 proposiciones. Hemos agrupado algunas de estas proposiciones en seis teoremas, que reúnen los resultados más importantes en el marco del programa de investigación de nuestro interés.
Fuente: Elaboración del autor. Las figuras cuentan con modelación en el micrositio.
Teorema 1 (Proposiciones 4, 5, 7, 53, 56). Objetos de igual tamaño ubicados a distancias diferentes se despliegan con diferentes amplitudes angulares en nuestro campo visual. Los más alejados se contemplan bajo ángulos más pequeños y, en consecuencia, adquieren una apariencia de menor tamaño.
Aun cuando el segmento AB coincide en longitud con el segmento CD (véase figura 1.1a), AB parece mayor para el observador en O, toda vez que el ángulo AOB es mayor que el ángulo COD, siempre que CD esté más alejado de O que AB.28
La proposición 4 establece un resultado semejante, cuando los objetos de igual tamaño se organizan a lo largo de una misma recta y uno a continuación del otro. En este caso, si O presenta la ubicación del observador (véase figura 1.2b) y aun cuando las magnitudes de los segmentos son tales que
la apariencia varía, toda vez que
por lo tanto, AB parecerá mayor que BC, este que CD, y este que DE.29
La proposición 7 analiza el mismo caso cuando los segmentos, aunque están sobre la misma recta, no se encuentran uno a continuación del otro.
Teorema 2 (Proposición 6). Los espacios paralelos vistos de lejos parecen convergentes. Esta proposición reviste gran importancia,