5. El espacio de Banach de las funciones continuas sobre un compacto
6. Acerca del teorema general de Stone-Weierstrass
7. Producto escalar
8. Proyecciones en un espacio de Hilbert
9. Dualidad en los espacios de Hilbert
10. Sistemas ortonormales en espacios pre-Hilbert
11. Bases ortonormales
12. Comentarios
13. Ejercicios propuestos
Capítulo 9. Los espacios Lp
1. Algunas desigualdades de concavidad
2. Los espacios Lp (1 ≤ p ≤ ∞)
3. Desigualdad de Hölder
4. Teorema de dualidad de Riesz para los espacios Lp
5. Aplicación: Series de Fourier
6. Comentarios
7. Ejercicios propuestos
Capítulo 10. Medidas reales o complejas
1. Medidas reales. Descomposición de Jordan-Hahn
2. Medidas de Radon
3. Teorema de Radon-Nikodym y descomposición de Lebesgue
4. Aplicación: Condicionamiento en Teoría de Probabilidades
5. Propiedades de la esperanza condicional
6. Comentarios
7. Ejercicios propuestos
Capítulo 11. Apéndice 1: Más allá de la medida
1. Conjuntos analíticos
2. Capacidades y el Teorema de Choquet
3. Construcción de capacidades. Extensión de medidas
4. Aplicaciones
Capítulo 12. Apéndice 2: Facsímiles de interrogaciones resueltas
Índice alfabético
Bibliografía
Esta obra está concebida como un libro de texto para estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas o de la carrera de Ingeniería Matemática. El texto del primer volumen enseña las bases, métodos y resultados más importantes de la Teoría de la Medida e Integración, rama fundamental de la Matemática contemporánea que es prerrequisito para estudiar una variada gama de otras disciplinas como el Análisis Funcional, cursos avanzados sobre Ecuaciones Diferenciales, la Teoría de Sistemas Dinámicos, la Teoría de Probabilidades, la Estadística, Métodos de la Física Matemática, Análisis Estocástico, entre muchas otras. El segundo volumen, en preparación, se concentrará en las topologías débiles de medidas, el Análisis de Fourier, la versión funcional de la integral y elementos de la teoría no conmutativa, temas todos que corresponden más bien a cursos de postgrado.
La elección de los temas de este primer volumen ha seguido los diseños curriculares de los cursos de formación de matemáticos según estándares internacionales. Las primeras versiones de este texto remontan a la época en que enseñaba la Teoría de la Integración primero en Niza y luego en París, con un programa un poco más extenso. Luego, fue adaptado al programa del curso que se enseña en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Católica y devino un apunte en Castellano, manuscrito y fotocopiado para los estudiantes hasta que la aparición de LA TEX permitió hacer una primera versión mecanografiada allá por la segunda mitad de la década de los 80. Desde entonces el texto, modificado sin cesar, ha circulado de manera supuestamente restringida al uso exclusivo de mis alumnos, si bien he sabido que algunas versiones han trascendido esa frontera y me ocurre recibir mensajes de estudiantes de otros lugares que piden acceder a los archivos de pruebas resueltas para ejercitar su aprendizaje.
Es muy importante en todo estudio científico considerar que no podemos conocer un objeto si no lo transformamos, y eso tiene una expresión muy clara en Matemáticas. No podemos aprender un tema nuevo si no intentamos probar los principales resultados nosotros mismos, y para ello los ejercicios son fundamentales. A través de ellos se puede entender mejor la historia de las ideas que llevaron al estado actual de una teoría; ellos constituyen para los matemáticos su laboratorio natural. En este volumen me he preocupado de proponer al final de cada capítulo listas de ejercicios que permitan al estudiante poner a prueba su comprensión de la teoría.
Asimismo, hay que tener en cuenta que todo aprendizaje es tributario de la cultura, del conocimiento global de su época, es un proceso inagotable que va determinando los márgenes de vigencia de los textos. En Matemáticas manejamos escalas temporales más largas que en otras disciplinas, pero no escapa a nuestra comprensión que la expresión de sus resultados principales cambia mucho a lo largo de los años. Por ejemplo, la forma en que explicamos la geometría euclidiana de nuestros días no coincide con aquella que usó su descubridor o incluso como se enseñó más tarde, por ejemplo en el siglo XII. Hay una historicidad profunda de todas las ciencias que no puede ser despreciada. Nótese que, siguiendo con el ejemplo de la geometría, el descubrimiento de América en 1492 generó un cambio en la concepción de mundo de la época que incidió en la necesidad de que la humanidad se planteara una geometría diferente que vio la luz más tarde en el siglo XIX, una teoría no euclidiana que absorbió la euclidiana como un caso particular, y la extendió a dominios que la de su griego autor nunca cubrió, como la geometría esférica.
En el caso de la integración, tema fundamental de este libro, hay también una larga historia. Este modesto texto no se propone más que mostrar la forma en que de nuestros días se ha sintetizado su teoría para ser enseñada en las aulas universitarias. Hemos escogido una forma sucinta de presentar los principales hitos, sus consecuencias y aperturas, para que los estudiantes dispongan de una referencia rápida, con algunos guiños para aquellos que quieran explorar temas relacionados que escapan a los contenidos programáticos.
Y la síntesis que hoy enseñamos se basa en el rico debate sobre los fundamentos de la integración que comenzó en las postrimerías del siglo XIX, continuando en el siglo XX. Son muchos los nombres que habría que citar en esa génesis: desde Cauchy, Riemann, pasando por Borel, un Weierstrass siempre presente, Stieltjes, Volterra, Cantor y sus indagaciones en la Teoría de Conjuntos, para culminar en los trabajos de Henri Lebesgue y Percy J. Daniell, además de los aportes posteriores de Beppo-Levi, Fubini y Kolmogorov, entre muchos otros a quienes pido excusas por omisión involuntaria. El lector interesado en el recuento histórico de los avances en esta teoría, puede consultar a este respecto el excelente libro de Iván Pesin [39] que rinde justicia a todos los creadores involucrados en este proceso hasta mediados del siglo XX.
Henri Lebesgue (1875-1941).
El francés Henri Lebesgue (1S75-1941), construyó las bases de la llamada Teoría de la Medida, a través de la cual se asigna un número a un conjunto y de ahí se construye luego la integral de una función (cf. [29], [30], [28], [31]). Es el punto de vista que permitió posteriormente el desarrollo de la llamada medida abstracta, que inspira estas notas de curso.
El británico, nacido en Chile, Percy John Daniell (1889-1946), desarrolló la integración desde una óptica distinta en sus trabajos de los años 1918-1919 ([6], [7], [8]). Daniell define primero la integral como un funcional