Teoría de la medida e integración. Rolando Rebolledo B.

      Llamemos a esta cantidad, integral de la función escalonada f sobre el intervalo I = [a, b]. La denotamos .

      EJERCICIO 1.6. Probar que para todo par de funciones f, g ɛ(I) se tiene que αf + βg ɛ(I) para todo par de reales α, β y que se cumple

      Resumimos lo anterior diciendo que ɛ(I) es un espacio vectorial real y que la aplicación f ↦ ∫_I f(x)dx es una forma lineal sobre este espacio.

      OBSERVACIÓN 1.1. Sean f y g dos funciones reales definidas sobre un intervalo [a, b] de y tales que en todo punto x [a, b] se tenga f (x) ≤ g(x). Definimos:

      La notación [[f, g]] sugiere una analogía con los intervalos de . En particular se puede notar que si una sucesión de funciones positivas (f_n)_n definidas en [a, b] es tal que en cada punto x del dominio f_n(x) crece o decrece hacia f(x), entonces [[0, f_n]] tiene como límite [[0, f]]. Dicho de otro modo,

      Notar que si f es una función escalonada positiva, entonces

      Si f es una función real de signo cualquiera, introduzcamos las siguientes funciones asociadas:

      para todo x en el respectivo dominio de definición. Se puede observar que

      Para una función escalonada f cualquiera se verifica entonces:

      Y si g es otra función escalonada tal que f ≤ g, entonces:

      DEFINICIÓN 1.2. Sea f una función de [a, b] en . Decimos que ella es integrable en el sentido de Riemann si existe

       una sucesión decreciente de funciones escalonadas en [a, b] minoradas por f,

       una sucesión creciente de funciones escalonadas mayoradas por f, tales que

      En tal caso, el límite común de las sucesiones se escribe , recibiendo el nombre de integral de f sobre [a, b].

      Notar que si f es positiva y si escribimos , entonces la condición (1.21) equivale a la planteada en el ejercicio 1.4.

      Puesto que las funciones escalonadas son acotadas sobre todo intervalo acotado [a, b], las funciones integrables en ese intervalo también lo son. Una elección posible de las sucesiones y es la propuesta por Darboux que explicamos a continuación. Sea (π(n))_n una sucesión de particiones de [a, b], π(n) : , llamamos para cada j = 1,..., k(n). Definimos entonces, para cada n ,

      De este modo se tiene

      De (1.22), (1.23), (1.24), resulta una forma equivalente de definir la integrabilidad en el sentido de Riemann: una función f acotada es integrable si y sólo si las sumas del miembro derecho de (1.24) convergen a 0 si n → ∞.

      EJERCICIO 1.7. Probar que toda función real continua es integrable sobre todo intervalo acotado contenido en su dominio de definición.

      EJERCICIO 1.8. Sea f una función real integrable en el sentido de Riemann sobre [a, b] y sea g otra función real, que es igual a f salvo en un número finito de puntos. Probar que g es también integrable en el sentido de Riemann y que su integral coincide con la de f.

      Deducir en particular que toda función continua, salvo en un número finito de puntos sobre [a, b], es integrable.

      EJERCICIO 1.9. Probar que la función f definida sobre [0,1], que vale 1 sobre los puntos racionales y 0 en todos los otros, no es integrable en el sentido de Riemann. Sin embargo, el conjunto [[0, f ]] tiene superficie nula.

      En el teorema siguiente resumimos las propiedades esenciales de la Integral de Riemann estudiadas en los cursos elementales de Cálculo.

      TEOREMA 1.1. Dado un intervalo I = [a, b] de la recta real, designemos por R(I) el conjunto de las funciones reales que son integrables en el sentido de Riemann sobre I.

      1. R(I) es un espacio vectorial real y la aplicación f ↦ ∫_I f(x)dx es una forma lineal definida sobre este espacio.

      2. La forma lineal anterior es también creciente sobre R(I), vale decir: f ≤ g implica ∫_I f(x)dx ≤ ∫_I g(x)dx.

      3. R(I) es también estable para el producto de funciones y para las operaciones (f, g) ↦ sup(f, g), (f, g) ↦ ínf(f, g).

      4. f