Teoría de la medida e integración. Rolando Rebolledo B.

R(I) y f^– R(I). En tal caso se tiene:

      5. f R(I) si y sólo si |f| R(I) y se cumple:

      6. Si a < c < b, entonces f R([a, b]) si y sólo si f es a la vez integrable sobre [a, c] y [c, b]. En ese caso se tiene:

      7. (Cambio de variables). Sea φ unafunción biyectiva del intervalo [a, b] sobre [α, β], de clase C¹ sobre ]a, b[. Para toda función f integrable en el sentido de Riemann sobre [α, β], la función t ↦ f(φ(t))|φ′(t)| es integrable y se tiene la igualdad1

      8. Sean f, g R([a, b]), tales que g mayore a f. Entonces [[f, g]] tiene superficie y

      Demostración. Proponemos al lector que escriba completamente la demostración del teorema a título de ejercicio: a continuación le entregamos una rápida guía para hacerlo.

      Se verifica fácilmente que las funciones escalonadas cumplen las distintas propiedades enunciadas en el teorema. Enseguida se trata de extender éstas a funciones arbitrarias, integrables en el sentido de Riemann. Esta extensión no presenta dificultades en el caso de las dos primeras propiedades. Para probar la tercera, observar en primer lugar que si α, α′, β, β′, son cuatro números reales, tales que α < α′, β < β′, entonces se cumplen las desigualdades siguientes:

      Hay que tener en cuenta además que si f R(I) es mayorada en valor absoluto por una constante positiva M entonces se puede escoger las sucesiones aproximantes y de modo que

      De este modo se puede entonces probar la tercera propiedad del enunciado. La cuarta es un caso particular de la tercera y de la linealidad de la integral; la quinta, resulta de la cuarta y de la igualdad:

      La sexta propiedad resulta de la observación siguiente: si [α, β] es un intervalo, 1_{[α, β]}(x) es su función característica,(aquélla que vale 1 si x [α, β] y 0 sino), entonces para toda función g sobre [a, b] se tiene:

      De esta relación resulta claro que g = |f| es integrable si y sólo si |f|1_{[a, c[} y |f|1_{[c, b]} lo son. Pero, de modo que usando (1.31) con g = f se obtiene la descomposición del enunciado.

      Un cálculo directo permite probar que la fórmula del cambio de variables es satisfecha por las funciones f escalonadas. Para extenderla a las funciones integrables en el sentido de Riemann, la clave es probar primero que si se tiene una función real f definida sobre [a, b] y si (f_n)_n, (g_n)_n son dos sucesiones de funciones integrables tales que

      entonces f R([a, b]) y

      La demostración de esta propiedad se obtiene de la manera siguiente. Por la definición de la integral de Riemann, para todo n existen sucesiones de funciones escalonadas , tales que

      y

      para todo m y para las cuales

      si m → ∞. Además se pueden escoger estas funciones escalonadas de modo que , si es necesario reemplazando por ínf y por sup. Entonces,

      para todo n . Tomando enseguida las sucesiones diagonales y se tiene que ellas son aproximantes de f en el sentido de la definición de la integral de Riemann y es igual al límite común de las integrales de tales funciones escalonadas. Pero además por construcción de las sucesiones de funciones escalonadas, los límites de sus integrales deben coincidir con los de la ecuación (1.34).

      Una vez demostrada esta propiedad, el teorema de cambio de variables resulta por una aplicación directa de ella y del cambio de variables para funciones escalonadas.

      Asimismo, la prueba de la última parte del teorema se obtiene por aplicación