Teoría de la medida e integración. Rolando Rebolledo B.

en el primer caso, se mide mediante una suma; en el segundo, mediante una integral.

2. Superficies en el plano

      El cálculo de superficies en el plano es quizás una de las formas más intuitivas del arte de medir. Aprovecharemos esa intuición para construir un modelo matemático de la noción de superficie.

      2.1. Noción de superficie. Nuestro propósito es definir una noción de superficie (o área) de una parte del plano. Con este fin se provee al plano de ejes de coordenadas ortogonales y se atribuye la superficie 1 al cuadrado de lado unitario. Las hipótesis siguientes traducen nuestras intuiciones básicas sobre superficies:

      (S1) Hipótesis 1: La superficie (Γ) de una parte Γ del plano es, si ella existe, un número positivo.

      (S2) Hipótesis 2: Si Γ y Γ′ son partes del plano que poseen superficie, entonces también es así para Γ ∩ Γ′ y

      Γ ∪ Γ′. Si además Γ y Γ′ son disjuntos, se tiene

      Si Γ contiene a Γ′, entonces su diferencia Γ\Γ′ tiene una superficie que vale (Γ) – (Γ′).

      (S3) Hipótesis 3: Si r tiene una superficie nula, entonces todo subconjunto de r posee también una superficie (que además es nula a causa de lo que se vio en (S2)).

      EJERCICIO 1.1. Probar que si Γ y Γ₂ son dos conjuntos que poseen una superficie, entonces por (S2) siempre se tiene

      Ahora bien, recordemos la forma en que los griegos aproximaban la superficie de un círculo: se daban una sucesión de polígonos regulares inscritos en él, calculaban las respectivas superficies y luego “pasaban al límite”. Expresemos esta idea en una nueva hipótesis, introduciendo sobre los conjuntos el orden parcial asociado a la inclusión.

      (S4) Hipótesis 4: Si (Γ_n)_n es una sucesión creciente de conjuntos que tienen superficie, entonces su reunión ∪_n Γ_n (que también escribimos lím ↑ Γ_n) tiene una superficie si y sólo si la sucesión ((Γ_n))_n es acotada y en tal caso se tiene

      EJERCICIO 1.2. Probar que (S4) es equivalente a la propiedad siguiente (S4’) Si (Γ_n)_n es una sucesión de conjuntos que poseen superficie, disjuntos dos a dos, entonces su reunión Γ (que escribimos Γ = ∑_n Γ_n), tiene superficie si y sólo si la serie ∑_n (Γ_n) converge; y se tiene:

      EJERCICIO 1.3. Sea (Γ_n)_n una sucesión decreciente de conjuntos que poseen superficie y sea Γ = ∩_n Γ_n (que también escribimos lím_n ↓ Γ_n). Probar que (Γ₀\Γ_n)_n crece hacia Γ₀\Γ. Deducir que r tiene superficie y verificar que

      EJERCICIO 1.4. Consideremos ahora un conjunto Γ para el cual existen dos sucesiones de conjuntos que poseen superficie, tales que

      para todo n . Si la sucesión tiende a cero, entonces Γ tiene superficie y se cumple

      (Se recomienda considerar las sucesiones monótonas (decreciente) y (creciente) de límites y , respectivamente, que tienen la misma superficie. Luego, observar que Γ\ está contenido en el conjunto de superficie nula \).

      En el ejercicio siguiente pasamos en revista lo aprendido en los cursos de Geometría elemental.

      EJERCICIO 1.5.

      1. Probar que la superficie de un rectángulo es el producto de sus lados.

      2. Probar que un segmento de recta tiene superficie nula. Asimismo, demostrar que una recta tiene superficie nula.

      3. Probar que una banda de plano limitada por dos rectas paralelas no tiene superficie.

      4. Probar que un conjunto numerable de puntos del plano tiene superficie nula.

      5. calcular la superficie de un triángulo rectángulo usando el ejercicio 1.4 y la pregunta 1 aquí arriba.

      6. Calcular la superficie de un paralelógramo en el plano, ubicado de modo que uno de sus vértices se encuentre en el origen de coordenadas, pero sin lados paralelos a los ejes.

      7. Obtener la superficie de un círculo como límite de las superficies de polígonos regulares inscritos y exinscritos de n lados.

3. La integral de Riemann

      Demos una rápida mirada a la forma en que se define la integral de Riemann en los cursos elementales de cálculo, buscando extraer de esa construcción los elementos comunes con el cálculo de superficies en el plano y con el arte de sumar.

      DEFINICIÓN 1.1. Designamos por ɛ(I) el conjunto de las funciones escalonadas definidas sobre un intervalo I = [a, b] (a < b) de la recta real. Una función f es escalonada si existe una partición a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b tal que f restringida a cada subintervalo [x_k , x_k+1[, k = 0,..., n – 2; [x_n–1, x_n] sea constante.

      Consideremos una función f ɛ(I) y la figura Γ delimitada por los segmentos de rectas , k = l,..., n – 1. Γes una unión de rectángulos no traslapados. Podemos entonces definir su área como la suma de las áreas de tales rectángulos elementales, de modo que: