Beispiel: Die Ebene (100) schneidet die x-Achse in 1, die y-undz- Achse in w (im Unendlichen, Ebene verläuft parallel zur y-undz-Achse). Aus den Kehr werten 1/1,1/∞ und 1/∞ ergeben sich die Miller’schen Indizes (100).
Abb. 2.3 Wichtige Richtungen (blau) und Ebenen (rot) im hdp System. Das Koordinatensystem ist hier nicht kartesisch. Die rot markierten Ebenen sind dichtest gepackt, parallel und kristallo-graphisch identisch.
Das kfz und das hdp Gitter haben beide die dichtest gepackte Anordnung von Atomen mit einer maximal möglichen Packungsdichte von 74 %. Sie unterscheiden sich jedoch in der Stapelfolge der dichtest gepackten Ebenen (Abb. 2.5).
2.2 Kristallbaudefekte
In der Realität haben alle Werkstoffe Defekte im Aufbau von Struktur und Gefüge. Diese beeinflussen erheblich die Eigenschaften, z. B. die elektrische Leitfähigkeit oder das Verformungsverhalten.
Man kann Kristallbaudefekte gemäß ihrer geometrischen Dimension (D) klassifizieren:
• 0D: Punktförmige Defekte, z. B. Leerstellen, Zwischengitter und Austauschatome
• 1D: Linienförmige Defekte, z. B. Versetzungen
• 2D: Flächenförmige Defekte, z. B. Korngrenzen, Phasengrenzen
• 3D: Volumenartige Defekte, z. B. Ausscheidungen (innerhalb eines Kristallits, können von Versetzungen überklettert werden)
Abb. 2.4 Die dichtest gepackten Ebenen der drei Kristallstrukturen krz (a), kfz (b) und hdp (c). Die dichteste Kugelpackung von Atomen gibt es im kfz und hdp Gitter.
Abb. 2.5 Stapelfolge der dichtest gepackten Ebenen im kfz Gitter (ABC ABC) und im hdp Gitter (AB AB). Durch den Unterschied in der Stapelfolge entstehen zwei verschiedene Kristallstrukturen.
Alle Kristallbaudefekte erhöhen die Festigkeit und verringern die Leitfähigkeit von Metallen. Dotierung von Halbleitern erhöht deren Leitfähigkeit.
0D: Punktförmige Defekte
Fremdatome, Leerstellen etc. sind punktförmige Gitterdefekte (Abb. 2.6). Typische Beispiele, wo Fremdatome gezielt eingebracht werden, sind elektrische Widerstände, dotierte Halbleiter oder die Mischkristallhärtung.
Zu den Punktfehlern zählen Leerstellen, substituierte Fremdatome sowie Fremd-und Grundatome auf Zwischengitterplätzen (interstitiell). Leerstellen stehen im thermodynamischen Gleichgewicht. Ihre Konzentration ergibt sich aus der Arrhenius-Beziehung
Abb. 2.6 Beispiele für Punktdefekte: Leerstelle, Zwischengitteratom, interstitielles Fremdatom auf Zwischengitterplatz (Einlagerungsfremdatom), Substitutionsfremdatom auf Gitterplatz (Austauschfremdatom). Die Kombination von Leerstelle und Zwischengitteratom wird Frenkel-Defekt genannt und spielt für Diffusionsprozesse eine Rolle. Statistisch unregelmäßig im Kristall verteilte Einlagerungs- oder Austauschfremdatome führen zu Mischkristallen.
wobei:
| NV(T) | Leerstellenkonzentration bei Temperatur T, |
| N 0 | Leerstellenkonzentration bei Raumtemperatur, |
| UB | Bildungsenergie für Leerstellen, |
| k | Boltzmann-Konstante |
Die Leerstellenkonzentration beträgt bei Raumtemperatur etwa 10-12 (d. h. eine Leerstelle auf 10 000 × 10 000 × 10 000 Atome), nahe bei der Schmelztemperatur ca. 10-4 (d. h. eine Leerstelle auf ca. 22 × 22 × 22 Atome). Mit Hilfe von Leerstellen können Atome ihre Plätze wechseln und werden ,,beweglich“. Aus dieser Tatsache heraus ergibt sich die Bedeutung der Leerstellen für den Stofftransport im festen Zustand (Diffusion).
Mischkristall Fremdatome in einem Kristall werden auf regulären Gitterplätzen eingebaut (Substitutionsatome in Austauschmischkristallen) oder, wenn sie genügend klein sind (z. B. Kohlenstoffatome in Stahl), auf Zwischengitterplätzen eingelagert (interstitielle Atome in Einlagerungsmischkristallen). Werden Fremdatome im Sinne einer Legierungsbildung in einen Kristall eingebaut, so spricht man von einer festen Lösung bzw. einem Mischkristall.
In der Umgebung von Punktdefekten ist das Gitter elastisch verzerrt. Fremdatome in Mischkristallen metallischer Legierungen führen zum Anstieg der Festigkeit und des elektrischen Widerstandes.
Abb. 2.7 Schematische Darstellung einer Stufenversetzung. Die Stufenversetzung ist mit dem Bild der eingeschobenen Halbebene so wie hier gezeichnet am leichtesten zu verstehen und reicht für ein einfaches Verständnis der plastischen Verformung in Metallen vollkommen aus. Die Sprungrichtung der Atome (Burgersvektor b) ist senkrecht zur Versetzungslinie.
1D: Versetzungen
Dieser Liniendefekt soll am Beispiel einer Stufenversetzung erläutert werden (Abb. 2.7). Eine Stufenversetzung kann man sich als eine im Kristall eingeschobene Gitterebene vorstellen. Die Versetzungslinie und damit der eigentlich gestörte Gitterbereich ist die Begrenzungslinie dieser eingeschobenen Ebene. In Metallen sind Versetzungen für die plastische Verformung bei Raumtemperatur verantwortlich. (Bei hohen Temperaturen tragen auch Leerstellen und Korngrenzen durch Diffusionsprozesse zur plastischen Verformung bei.) In Halbleiterwerkstoffen, die aus epitaktischen Schichten bestehen (z. B. Quantenfilmlaser), sind Stufen-Fehlpassungs-Versetzungen an der Grenzfläche Schicht-Substrat unerwünscht, da sie dazu führen, dass keine Photonen (Laserlicht), sondern Phononen (Gitterschwingungen) entstehen. Versetzungen entstehen bereits bei der Kristallisation. Sie werden auch in großer Zahl bei der plastischen Verformung erzeugt. Von sogenannten Frank-Reed-Quellen breiten sie sich auf einer Gleitebene als kreisförmige Linien aus wie Wellen auf dem Wasser, in das ein Stein geworfen wurde. Segmente des Kreises haben Stufencharakter (Stufenversetzung), andere Segmente 90° dazu verdreht haben Schraubencharakter und die Segmente dazwischen gemischten Charakter.
2D: Korngrenzen und andere Flächendefekte
Die meisten technischen Werkstoffe sind polykristalline Werkstoffe, d. h., sie sind aus einer Vielzahl kleiner Kristalle,