System bei einer reversiblen adiabatischen Expansion (Schritt 2 in Abb. 3.9) von Tw nach Tk abkühlt. Aus den Beziehungen zwischen Temperatur und Volumen für derartige Prozesse, insbesondere VTc = konstant (siehe Abschn. 2.5), lässt sich eine Beziehung zwischen den beiden Volumina vor und nach der Expansion aufstellen. Außerdem ist zu beachten, dass bei den reversiblen isothermen Prozessen (Schritte 1 und 3) Energie in Form von Wärme übertragen wird, und dass – wie wir in Beispiel 3.1 gezeigt haben – für ein ideales Gas gilt:
Schritt 1 Aufstellen einer Beziehung zwischen den Volumina bei den adiabatischen Expansionen. Aus den Beziehungen zwischen Temperatur und Volumen für reversible adiabatische Prozesse, Gln. (2.49a) und (2.49b), folgt mit VTc = konstant (siehe Abschn. 2.5)
Durch Multiplikation beider Gleichungen erhält man
und daraus durch Kürzen der Temperaturen
Schritt 2 Aufstellen einer Beziehung zwischen den beiden übertragenen Wärmemengen.
Die letzte Beziehung aus Schritt 1 können wir nun verwenden, um einen Ausdruck für die Energiemenge aufzustellen, die in Form von Wärme an die Wärmesenke abgegeben wird, und zwar in Abhängigkeit von den Volumina VA und VB:
Daher können wir folglich schreiben
Beachten Sie, dass qw ein negatives Vorzeichen besitzt (Wärme wird der Wärmequelle entzogen), wohingegen qk einen positiven Wert besitzt (Wärme wird an die Wärmesenke abgegeben); daher ist das Verhältnis dieser beiden Größen insgesamt negativ. Diese Beziehung lässt sich umstellen zu
Da die Gesamtänderung der Entropie bei einem vollständigen Zyklus qw/Tw + qk/Tk ist, folgt aus Gl. (3.6) unmittelbar, dass diese Entropieänderung für ein ideales Gas gleich null sein muss.
Illustration 3.2
Den Carnot‐Prozess können wir als Repräsentation der Umwandlungen auffassen, die in einer Wärmekraftmaschine stattfinden, die einen Teil der aus der Wärmequelle entnommenen Energie in Arbeit umwandelt. Betrachten wir nun einen Motor, der nach dem Carnot‐Prozess funktioniert, und der 100 J Energie aus der Wärmequelle (qw = −100 J) bei 500 K entnimmt. Ein Teil dieser Energie wird verwendet, um Arbeit zu verrichten, und die übrige Energie wird bei 300 K an die Wärmesenke abgegeben. Nach Gl. (3.6) beträgt die abgegebene Wärmemenge
Demnach wurden +40 J dazu verwendet, Arbeit zu verrichten.
Im zweiten Schritt ist zu zeigen, dass Gl. (3.5) für alle Arbeitsmedien gilt, nicht nur für ideale Gase. Dazu definieren wir zunächst den Wirkungsgrad η (eta) einer Wärmekraftmaschine als
Wir haben hier den Betrag der Wärme eingesetzt, um jede Verwirrung in Bezug auf die Vorzeichen zu vermeiden: Wirkungsgrade sind stets positiv. Aus dieser Definition kann man ablesen: Je größer die geleistete Arbeit bei gegebener Wärmezufuhr ist, umso größer ist der Wirkungsgrad der Maschine. Diese Definition kann man auch nur als Funktion der ausgetauschten Wärme schreiben, weil sich (wie in Abb. 3.10 dargestellt) die geleistete Arbeit immer als Differenz der dem warmen Reservoir entnommenen und der wieder an das kalte Reservoir abgegebenen Wärmemenge ergibt:
Abb. 3.10 Die Energie qw (z. B. |qw| = 20 kJ) werde der Wärmekraftmaschine in Form von Wärme zugeführt, qk (z. B. |qk| = 15 kJ) werde an das kalte Reservoir abgegeben. Die von der Maschine verrichtete Arbeit ist gleich |qw|−|qk| (in unserem Beispiel 20 kJ−15 kJ = 5 kJ).
(3.8)
Aus Gl. (3.6), geschrieben als |qk|/|qw| = Tk/Tw, folgt dann für den Carnot‐Wirkungsgrad
Illustration 3.3
Ein Stromgenerator arbeitet mit überhitztem Wasserdampf bei 300 °C (Tw = 573 K). Nicht nutzbare Energie in Form von Wärme wird bei 20 °C (Tk = 293 K) an die Umwelt abgegeben. Der theoretische (Carnot‐)Wirkungsgrad dieser Maschine ist daher
oder 48,9 Prozent. In der Praxis wird dieser theoretische Wirkungsgrad allerdings nicht erreicht, und zwar aufgrund von Reibungsverlusten und weil Turbinen nicht reversibel arbeiten.
Diese Schlussfolgerung wollen wir nun verallgemeinern. Eine logische Folge des Zweiten Hauptsatzes ist, dass der Wirkungsgrad aller reversibel arbeitender Maschinen ungeachtet ihrer Bauweise gleich ist. Um dies zu beweisen, stellen wir uns zwei reversibel zwischen denselben Temperaturen arbeitende Maschinen vor, die miteinander gekoppelt sind (Abb. 3.11). Details ihrer Konstruktion und des Arbeitsmediums sind dabei völlig unerheblich. Zunächst nehmen wir an, der Wirkungsgrad der Maschine A sei höher als der der Maschine B. Wir können die Anordnung nun so steuern, dass durch Maschine B eine Wärmemenge qk aus dem kalten Reservoir entnommen und ein Teil davon dem warmen Reservoir zugeführt wird. Da aber der Wirkungsgrad von A höher