не можна розкласти на дійсні прості множники, має завжди дійсні множники другого степеня. Однак ніхто, наскільки я знаю, ще не довів досить чітко істинність цієї думки; отже, я постараюся довести це таким чином, щоб охопити всі без винятку випадки».
Такої ж концепції потім дотримувалися Лагранж, Лаплас і деякі інші послідовники Ейлера. Не згодний з нею був лише К. Ф. Гаусс, про якого йтиметься далі.
Ейлер же сформулював три теореми, що випливають із властивостей безперервних функцій.
1. Рівняння непарного степеня має щонайменше один дійсний корінь. Якщо таких коренів більше одного, то кількість їх не є парною.
2. Рівняння парного степеня або має парну кількість дійсних коренів, або не має їх зовсім.
3. Рівняння парного степеня, у якого вільний член від’ємний, має щонайменше два дійсні корені різних знаків.
Слідом за цим Ейлер довів теореми про розкладність на лінійні й квадратичні дійсні множники багаточленів з дійсними коефіцієнтами.
При доведенні основної теореми Ейлер установив дві властивості алгебричних рівнянь:
1. Раціональна функція коренів рівняння, що набуває при всіх можливих перестановках коренів А різних значень, задовольняє рівнянню степеня А, коефіцієнти якого виражаються раціонально через коефіцієнти даного рівняння.
2. Якщо раціональна функція коренів рівняння інваріантна (тобто не змінюється) щодо перестановок коренів, то вона раціонально виражається через коефіцієнти вихідного рівняння.
П. С. Лаплас, слідом за Ейлером і Лагранжем, допускає розкладання багаточлена на множники. При цьому Лаплас доводить, що вони будуть дійсними. Таким чином, усі три вчені довели основну теорему алгебри, спираючись на припущення існування поля розкладання багаточлена на множники.
Після повернення в Росію, в 70-ті роки XVII століття навколо Ейлера виросла Петербурзька математична школа, яка більш ніж наполовину складалася з російських вчених. Тоді ж завершилася публікація головної книжки його життя – «Основи диференціального й інтегрального числень», за якою вчилися всі європейські математики з 1755 по 1830 рік. «Основи» вигідно відрізняються від «Початків» Евкліда й від «Принципів» Ньютона. Звівши струнку будову математичного аналізу від самого фундаменту, Ейлер не прибрав ті риштовання та сходинки, якими він сам підіймався до своїх відкриттів. Багато цікавих здогадок і початкові ідеї доведень збережені в тексті – незважаючи на помилки, які в них трапляються, – аби вони були наукою для всіх спадкоємців Ейлеревої думки. Це був перший підручник, призначений не для послідовників, а для дослідників: таким був заповіт Ейлера й усієї епохи Просвітительства, адресований прийдешнім століттям і народам.
Карла Фрідріха Гаусса (1777–1855) вважають останнім латиністом серед великих учених Європи. Він з гордістю почував себе вихованцем епохи Просвітительства. Справді, в яку іншу епоху талановитий син садівника й водопровідника міг би удостоїтися