про паралельні (вона ж п’ятий постулат) містила твердження про прямі, що простираються в нескінченність, і це не могло бути підтверджене досвідом. Навіть версія цієї аксіоми, що належить самому Евкліду, зовсім не стверджує, що якісь прямі не перетнуться. У ній скоріше формулюється умова, за якої вони перетнуться в певній кінцевій точці.
Упродовж століть математики намагалися знайти аксіомі про паралельні відповідну належну заміну. Але в кожному варіанті неодмінно виявлявся якийсь недолік. Так, першими коментаторами Евклідового постулату стали Посидоній (ІІ ст. до н. е.), Гемінус (І ст. до н. е.), Птолемей (ІІ ст.) та Прокл (V ст.), який довів цю аксіому, фактично перетворивши її на теорему, та вивів власний, еквівалентний постулат. З часом таких постулатів ставало дедалі більше, але ніхто з математиків за два тисячоліття не зміг підійти до повного заперечення аксіоми, залишивши інші чотири недоторканними, і цим самим вивести нову, неевклідову геометрію.
Вольфганг Бойяї, шкільний друг Гаусса, писав йому про незвичайні математичні здібності свого сина Яноша, який до тринадцяти років уже вивчив планіметрію, стереометрію, тригонометрію, конічні перетини, а в 14 років уже з легкістю розв’язував задачі диференціального й інтегрального числення. У 18 років Янош уже повідомив батька про те, що знайшов шлях доведення аксіоми, над якою все життя мудрував Бойяї-старший: «Я створив новий, інший світ з нічого. Все, що я робив до цього, є тільки картковим будиночком порівняно з баштою, що споруджується».
Першим, хто припустив можливість існування неевклідової геометрії, був К. Ф. Гаусс, але це стало відомо тільки після смерті вченого, мабуть тому, що він не ризикнув опублікувати свої результати, побоюючись того, що сучасники не зрозуміють його. Тож честь створення неевклідової геометрії випала двом геніальним вченим XIX століття – М. І. Лобачевському (1792–1856) та Я. Бойяї (1802–1860). Кожний з них незалежно опублікував свій власний оригінальний виклад нової геометрії, і тому нині її називають геометрією Лобачевського – Бойяї. У ній зберігаються всі теореми, які можна довести без використання п’ятого постулату, але всі інші, в яких він використовується, видозмінюються. Так, за геометрією Лобачевського, сума кутів будь-якого трикутника (перша шкільна теорема, у доведенні якої використовується паралельність прямих) дорівнює більш ніж 180 градусів!.. Такі «сюрпризи» трапляються на кожному кроці, і саме в неевклідовій геометрії паралельні прямі отримали шанс коли-небудь перетнутися, і взагалі, через дану точку можна провести нескінченно багато паралельних прямих, – для цього треба тільки побудувати поверхню особливої форми, дуже не схожу на знайому з давніх-давен площину. Лобачевський намагався знайти її, але не зміг цього зробити. Побудова такої моделі (тобто доведення несуперечності геометрії Лобачевського) випала на долю математиків наступних поколінь.
Так, у 1868 році італійський математик Е. Бельтрамі дослідив увігнуту поверхню, яку він назвав псевдосферою, і довів,