entsprechender Gleichgewichtsbeziehungen höchstens zweifache Produkte der Verformungen berücksichtigt, so dass im Sinne der Linearisierung maximal quadratische Terme einer Verformung auftreten:
(1.10)
Da von kleinen Verformungen ausgegangen wird, entstehen durch die höheren Reihenglieder Ausdrücke, die im Hinblick auf die Genauigkeit von untergeordneter Bedeutung sind. Bei linearen Formulierungen (vgl. Tabelle 1.3) werden die trigonometrischen Beziehungen stets durch das jeweils 1. Reihenglied beschrieben:
(1.12)
(1.13)
In den Abschnitten 2.4.2 und 4.3 wird das Gleichgewicht für Stäbe mithilfe des Prinzips der virtuellen Arbeiten formuliert. In den entstehenden Arbeitsgleichungen werden entsprechende Linearisierungen vorgenommen. Um hierzu einen Überblick zu verschaffen, soll am Beispiel der inneren virtuellen Arbeit infolge der Normalspannungen an dieser Stelle vorab die Linearisierung verdeutlicht werden. Gemäß Abschnitt 2.4.2 leisten die Normalspannungen an den virtuellen Verzerrungen Arbeit:
Die Dehnung einer Faser in der verformten Lage kann nach Abschnitt 4.3 und den Gln. (4.28) bzw. (4.29) durch folgende kinematische Beziehung beschrieben werden:
Die in Gl. (1.15) vorgenommene Näherung erfolgt mithilfe einer Reihenentwicklung für die Wurzel und der Berücksichtigung von Reihengliedern, die entsprechend der vorherigen Ausführungen zu maximal zweifachen Produkten der Verformungen führen, vgl. auch Gl. (1.9) mit (1.11). Es handelt sich somit um eine linearisierte kinematische Beziehung. Die lineare Beziehung wird durch den linearen Anteil der Gl. (1.15) beschrieben:
Die virtuellen Verzerrungen δεx ergeben sich aus der 1. Variation der Gln. (1.15) bzw. (1.16). Da für die Variationsrechnung die Regeln der Differentialrechnung gelten, ergibt sich mit der Produktregel:
Wie bei den wirklichen Verzerrungen handelt es sich in Gl. (1.17) um die linearisierte und in Gl. (1.18) um die lineare Beschreibung der virtuellen Verzerrungen.
Gemäß Tabelle 1.3 werden bei der Theorie I. Ordnung (lineare Theorie) die wirklichen und virtuellen Verzerrungen durch die linearen kinematischen Beziehungen nach Gl. (1.16) bzw. (1.18) beschrieben, was mit Gl. (1.14) zur folgenden inneren virtuellen Arbeit der Normalspannungen führt:
Im Hinblick auf die Theorie II. Ordnung wird nach Tabelle 1.3 für die wirklichen Verzerrungen der lineare Zusammenhang nach Gl. (1.16) berücksichtigt, während für die virtuellen Verzerrungen der linearisierte Ausdruck nach Gl. (1.17) genutzt wird. Die innere virtuelle Arbeit nach Gl. (1.19) ergibt sich damit zu:
Mit Gl. (1.20) wird deutlich, dass die gewählte Vorgehensweise erneut zu maximal zweifachen Produkten der Verformungen führt. Würden für die wirklichen Verzerrungen ebenfalls linearisierte (und nicht lineare) Ausdrücke berücksichtigt, hätte dies höhere Produkte der Verformungen zur Folge, die im Sinne der Theorie II. Ordnung keine Berücksichtigung fänden. Im Vergleich zu Gl. (1.19) (der Theorie I. Ordnung) sind in Gl. (1.20) zusätzliche Anteile entstanden, die von den Normalspannungen σx abhängen. Da im Zusammenhang mit den wirklichen Spannungen σx die linearen Verzerrungen definiert sind, handelt es sich dabei formal um den Spannungszustand, der der Theorie I. Ordnung entspricht. Im Zusammenhang mit Abschnitt 4.3 wird deutlich, dass sich durch Lösen der Flächenintegrale dA in Gl. (1.20) entsprechende Schnittgrößen ergeben, die dann auch nach Theorie I. Ordnung in die entstehende Steifigkeitsbeziehung (geometrische Steifigkeitsmatrix) der Theorie II. Ordnung einfließen.
1.8 Software/Downloads
Für die Berechnungsbeispiele in dem vorliegenden Buch und für ergänzende Untersuchungen wurden im Wesentlichen folgende EDV-Programme angewendet:
• FE-STAB
• FE-Rahmen
• FE-Beulen
• FE-STAB-FZ
• QSW-FE
• QSW-FE ML
Hierbei