relación:
a+b/a = a/b
Esto quiere decir que la proporción entre las dos partes en que dividimos una línea es idéntica a la del segmento mayor respecto a la línea en su totalidad.
La separación entre las espirales de la concha del caracol mantiene una proporción cercana al número áureo. Esta espiral ha sido utilizada como referencia a lo largo de la Historia del Arte en muchísimas obras.
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Esta proporción sólo se consigue cuando se divide de una forma concreta la línea, y su importancia ha sido tal en la historia que la Matemática le ha asignado la letra griega Φ Phi (pronunciado fi). Es un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) cuyos primeros dígitos son 1,618033988749.
Más tarde Marco Vitruvio Polión (80-70 a.C.-15 a.C.), arquitecto, escritor, ingeniero y tratadista romano consideró que la Arquitectura debería imitar a la Naturaleza. De la misma forma que un pájaro o una abeja construye su nido, los seres humanos deberíamos construir nuestras casas con materiales naturales. En sus estudios profundizó en las relaciones geométricas del hombre. Así un hombre de pie y con los brazos extendidos se puede inscribir en un cuadrado o en un círculo si separa las piernas, lo que lo llevó a la definición de un canon del cuerpo humano perfecto: el Hombre de Vitruvio, que más tarde adoptaría también Leonardo da Vinci. De esta forma tenemos al cuerpo humano inscrito en el círculo y el cuadrado, que eran también los patrones geométricos fundamentales del orden cósmico. Leonardo dibujó las formas humanas siguiendo las recomendaciones de Vitruvio, pero de tal forma que la razón entre el lado del cuadrado y el radio del círculo en que se inscribe es áurea.
Esta división asimétrica tiene unas propiedades matemáticas y estéticas ciertamente interesantes, hasta tal punto que en 1509 el monje y matemático Luca Paccioli la rebautizó con el nombre de divina proporción en el libro del mismo nombre en que aporta cinco razones para considerar como divino al número áureo:
•Su valor único, en consonancia con la unicidad de Dios.
•Los tres segmentos los asocia a la Trinidad.
•Dios y Phi son inconmensurables.
•La autosimilaridad del Phi es comparable a la omnipresencia e invariabilidad de Dios.
•De la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro, el número áureo dio ser al dodecaedro.
Sin duda no son razones de peso para la sociedad actual, pero nos dan una visión de la gran importancia que ha tenido este número en la Historia del Conocimiento y sus profundas implicaciones en la Historia del Arte y, por tanto, de nuestra cultura heredada.
Pocos años después, en 1525, el pintor Alberto Durero publicó su libro Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas, en el que describe detalladamente la forma de trazar una espiral basada en la sección áurea y que, también, se conoce con el nombre de espiral de Durero.
El punto de vista de esta imagen se eligió cuidadosamente para que el sol estuviese en el centro de una espiral áurea que discurre casi paralela al tronco principal y finaliza en la rama más larga. Percibimos esta disposición como armoniosa, quizá por estar expuestos a ella reiteradamente o por formar parte de nuestra percepción como especie.
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El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, como lo conocemos actualmente, lo hace el matemático alemán Martin Ohm en 1835, de una forma que parece sugerir que el término ya era habitual en la época, “Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada”.
Hasta 1900 los textos de matemáticas que trataban el tema utilizaban como símbolo para representar el número áureo la letra τ, del griego τομή, que significa ‘corte o sección’. En este año el matemático Mark Barr le adjudicó la moderna denominación de Φ o ϕ en honor a Fidias, ya que ésta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας). Fidias recibió tan alto honor por el gran valor estético de sus esculturas, propiedad que ya por entonces compartía el número áureo.
La sucesión de Fibonacci
Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, fue uno de nuestros mejores matemáticos. Difundió por Europa el sistema de numeración decimal árabe. Pero aquí hablaremos de un problema que resolvió en su Libro de los ábacos (Liber abacci), utilizando la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse. Las condiciones del experimento serían que los conejos están aislados por muros, empiezan a reproducirse cuando tienen dos meses de edad, tienen un periodo de embarazo de un mes y dan a luz dos retoños.
Este es un problema matemático puramente teórico, ya que en realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El resultado es que el número de individuos de la población de conejos del problema es una sucesión matemática en la que cada número es el resultado de sumar los dos anteriores partiendo del 1:
1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89 – 144 – 233 – 377 – 610 – 987 – 1597…
Esta sucesión la podemos encontrar de forma real en la Naturaleza, como en la denominada Ley de Ludwig, que registra el hecho de que la mayoría de las flores tienen un número de pétalos perteneciente a la sucesión de Fibonacci. La cala, por ejemplo, tiene un solo pétalo, la euphorbia tiene dos, el lirio tres, la jara cinco. Otras flores más complejas como las margaritas y los girasoles pueden tener 13, 21, 34 o 89. También son números de Fibonacci los que se forman en nuestro árbol bronquial al ir dividiéndose hasta los alveolos.
Muchas son las flores que tienen cinco pétalos, quizá por eso sea tan difícil encontrar un trébol de cuatro hojas. Las zonas más nítidas de la flor y las más claras funcionan como atractores visuales. Los movimientos del ojo continúan por la línea vertical que crea la hoja más larga.
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Lo curioso es que si dividimos dos números correlativos de la sucesión de Fibonacci obtenemos una aproximación cada vez más precisa al número Phi.
La Biblia también parece que incorpora las proporciones estéticas de sus autores. Dios le dio a Moisés instrucciones para construir un Arca con proporciones 5x3, dos números de la sucesión de Fibonacci que da un número bastante aproximado a Phi.
También podemos construir un rectángulo áureo con los números de esta sucesión.
Construir una espiral a partir de la sucesión de Fibonacci
Creamos un rectángulo de tal forma que sus lados sean dos de los números de la serie.
Siguiendo la serie numérica vamos dividiéndolo en cuadrados.