durch 2π ist. Mathematisch ergibt sich (2.1) aus der Tatsache, dass die Operatoren die für die Definition von Position und Impuls verantwortlich sind, nicht kommutieren; d. h.,
Die Einbeziehung dieser Unsicherheit in das Bild der Bewegung mikroskopischer Teilchen führt zu Diskrepanzen zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik: Die klassische Physik hat ein deterministisches Ergebnis, das bedeutet, dass Position und Geschwindigkeit (Trajektorie) eines sich bewegenden Körpers bestimmt und mit Sicherheit vorauszusagen ist. Dieses Prinzip gilt zweifellos auf der makroskopischen Skala: Wenn die Position und Flugbahn eines makroskopischen Körpers, beispielsweise des Mondes, bekannt ist, ist es zweifellos möglich, seine Position in sechs Tagen zu berechnen und ein Raumschiff an diese vorhergesagte Position zu senden.
Quantenmechanische Systeme gehorchen dagegen einem probabilistischen Verhalten. Da die Position und der Impuls zu keinem Zeitpunkt gleichzeitig bestimmt werden können, kann die Position (oder der Impuls) auch in der Zukunft nicht genau vorhergesagt werden, sondern nur deren Wahrscheinlichkeit. Dies zeigt sich im Postulat, dass alle gegenwärtigen oder zukünftigen Eigenschaften eines Teilchens durch die Wellenfunktion Ψ(x,t) eines Systems gegeben sind. Diese Funktion hängt im Allgemeinen von den räumlichen Koordinaten und der Zeit ab. Somit wird für eine eindimensionale Bewegung (die zuerst erörtert wird) die Wellenfunktion als Ψ(x, t) geschrieben. Die Wahrscheinlichkeit, ein quantenmechanisches System zu einem Zeitpunkt an einer bestimmten Position zu finden, ergibt sich aus dem Integral des Quadrats dieser Wellenfunktion:
2.1 Postulate der Quantenmechanik
Postulat 1 Der Zustand eines quantenmechanischen Systems ist vollständig durch die Wellenfunktion Ψ(x, t) definiert. Das Quadrat dieser Funktion, oder bei komplexer Wellenfunktion das Produkt Ψ*(x, t)Ψ(x, t), integriert über ein Volumenelement
Postulat 2 Der klassische Ausdruck für den linearen Impuls p = mv wird in der Quantenmechanik durch den Differenzialoperator
und auf die Wellenfunktion Ψ(x, t) angewendet wird. In (2.2) ist i ist die imaginäre Einheit, definiert durch
Die Form von (2.2) kann aus Gleichungen der klassischen Wellenmechanik, der De-Broglie-Gleichung (1.10) und der Planck-Gleichung (1.7) plausibel gemachtwerden, aber nicht axiomatisch hergeleitet werden. Erwin Schrödinger hatte die Einsicht und erkannte, dass die Substitution des Impulses durch (2.2) die seit langem bekannten Differenzialgleichungen ergibt, deren Lösungen mit experimentellen Ergebnissen übereinstimmen. In den Schrödinger-Gleichungen, die in den nächsten Kapiteln (für das Wasserstoffatom, die Schwingungen und Rotationen von Molekülen und die molekularen elektronischen Energien) explizit diskutiert werden, wird die klassische kinetische Energie T
durch
ersetzt. Gleichung (2.4) wurde natürlich durch Einsetzen von (2.2) in (2.3) erhalten.
Die Gesamtenergie eines Systems ergibt sich dann aus der Summe der potenziellen Energie V und der kinetischen Energie T:
(2.5)
Postulat 3 Alle experimentellen Ergebnisse werden als ,,Observable“ (beobachtbare Größen) bezeichnet, die real (nicht imaginär oder komplex) sein müssen. Alle Observablen sind mit einem quantenmechanischen Operator
(2.6)
beschrieben, wobei ,,a“ die Eigenwerte sind und die Funktionen φ die entsprechenden Eigenfunktionen. Die Begriffe ,,Operator“, ,,Eigenwerte“ und ,,Eigenfunktio-nen“ stammen aus der linearen Algebra und werden in Abschn. 2.3 näher erläutert, wenn das erste Eigenwertproblem, das Teilchen im Kasten, diskutiert wird. Man soll dabei beachten, dass die Eigenfunktionen häufig Polynome sind und jede dieser Eigenfunktionen ihren entsprechenden Eigenwert hat.
In diesem Buch wird der Gesamtenergieoperator durch das Symbol