Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография. Виктор Иванович Шаповалов

бифуркации.

      Чаще всего бифуркация – это единственный выход для системы из неустойчивого состояния. Другим выходом, разумеется, является обратный ход по значениям управляющего параметра, однако для этого придется изменять внешние условия (также в обратную сторону), что по силам далеко не каждой системе. Кроме того, бифуркация дает новые состояния и поэтому лежит в основе прогрессивного развития природы. В частности, многие (если не все) биологические виды своим появлением обязаны именно бифуркационным процессам в природе. Задача, рассмотренная в настоящем разделе, в какой-то мере поможет понять некоторые детали этого явления.

      Итак, имеется система, состоящая из микроорганизмов размножающихся путем деления. Эта система находится в среде с начальной массой пищи m₀. Требуется исследовать бифуркационное поведение данной системы, т. е. построить бифуркационную диаграмму и определить точки бифуркации.

      Если масса пищи m не регулируется извне, то закон ее убывания с ростом числа микроорганизмов близок к экспоненциальному (см., например, [11]):

      m = m₀ exp(—βn),

      где n = N/V – концентрация микроорганизмов; N – число микроорганизмов; V – объем среды; β – коэффициент потребления, показывающий, как быстро с ростом n уменьшается пища.

      Скорость размножения dn/dt пропорциональна концентрации уже имеющихся микроорганизмов и массе пищи, следовательно [11],

      

(40)

      где µ = αm₀, α – коэффициент пропорциональности, характеризующий благоприятные условия среды обитания (благоприятные потому, что, как видно из (40), чем больше α, тем больше dn/dt – прирост числа микроорганизмов).

      Учтем смертность микроорганизмов. Для этого воспользуемся следующими соображениями: с одной стороны, с ростом числа умерших скорость появления новых микроорганизмов падает, а с другой стороны, число умерших микроорганизмов пропорционально числу имеющихся. Поэтому в (40) из правой части нужно вычесть величину, пропорциональную n:

      

(41)

      где γ – коэффициент, показывающий, какую долю от общего числа микроорганизмов составляют умершие. Другими словами, коэффициент γ отражает факторы, способствующие увеличению смертности, т. е. этот коэффициент характеризует неблагоприятные условия среды обитания.