Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография. Виктор Иванович Шаповалов

переменными. В частности, чтобы проверить стационарное решение (19) на устойчивость, достаточно определить соотношение знаков у величин B, ∆ и D. Последние вычисляются по формулам (П22). В эти формулы входят четыре коэффициента линейного разложения: a₁₁, a₁₂, a₂₁ и a₂₂. Их мы найдем с помощью (П12), в которой F_i возьмем из системы эволюционных уравнений (18) нашей задачи.

      Итак, согласно (П12),

      

      В первом слагаемом берется частная производная по переменной Y₁ от выражения αY₂, которое, как видим, не содержит Y₁, поэтому, согласно правилу вычисления частной производной, это выражение считается постоянным и производная от нее равна нулю. Во втором слагаемом производная берется от выражения γY₁, которое считаться постоянным не может, так как содержит Y₁. Поэтому дальнейшие вычисления для a₁₁ примут вид

      

      Аналогично рассуждая, находим остальные коэффициенты линейного разложения:

      

      Подставив найденные значения a₁₁, a₁₂, a₂₁, и a₂₂ в (П22), получим

      

(20)

      2.1.4. Для средней фирмы коэффициенты α и β должны быть сравнительно большими, так как оба относятся к расходам на сотрудников, а коэффициент µ и γ, наоборот, не должен быть большими потому, что, во-первых (в случае µ), у средней фирмы прибыль от операций на рынке не является слишком высокой, иначе бы фирма была богатой, а не средней; и во-вторых (в случае γ), в цивилизованном обществе в средней фирме текучесть кадров невелика.

      С учетом сказанного из формул (20) можно точно определить знаки величин ∆ и D. Действительно,

      а) произведение больших коэффициентов α и β заведомо больше, чем произведение малых µ и γ, поэтому∆ > 0;

      б) квадрат разности малых µ и γ есть очень маленькая величина, поэтому D < 0.

      В отношении же B однозначного ответа нет: и µ, и γ – оба малые. Следовательно, мы приходим к двум возможным ситуациям: µ > γ и µ < γ.

      Ситуация 1: µ > γ. Это означает, что коэффициент γ – невелик, и причин для увольнения мало.

      В этой ситуации знаки величин из (20) распределятся следующим образом:

      

      Такое сочетание знаков совпадает с (П30). В этом случае стационарное решение (19) соответствует неустойчивому фокусу. Фазовая траектория в координатах Y₁ и Y₂ представляет собой спираль, раскручивающуюся из начала координат (см. рис. П5).

      Раскручивание спирали указывает на рост числа сотрудников Y₁ и капитала Y₂. Но ввиду разновеликости коэффициентов β и µ (β > µ) наступает момент, когда во втором уравнении системы (18) в правой его части первое слагаемое окажется меньше второго и прирост капитала dY₂/dt станет отрицательным. На практике это выглядит так, что по мере роста числа сотрудников наступает момент, когда их становится настолько много, что фирма уже не может достойно (по мнению сотрудников) оплачивать их труд. Сотрудники увольняются. Последнее дает увеличение γ. И тогда фирма оказывается в ситуации 2.

      Ситуация 2: µ < γ.

      Соответствующее