Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография. Виктор Иванович Шаповалов

значение прибыли в государственной страховой фирме.

      Зададим возмущение y для Y_ст. Поскольку в задаче только одна переменная, а именно Y (прибыль), то закон изменения возмущения с течением времени (П13) запишется в простом виде

      y = c exp (ωt).

      Характеристическое уравнение (П14) также сильно упрощается:

      a₁₁ – ω = 0,

      Следовательно, ω = a₁₁ и

      y = c exp (a₁₁ t). (24)

      где a₁₁ вычисляется по формуле (П12). В этой формуле перейдем к обозначениям без индексов, так для одной переменной в них нет смысла:

      

(25)

      где F – правая часть эволюционного уравнения (23). Все величины в (25) положительные (в частности, из (22) видно, что прибыль фирмы будет увеличиваться, т. е. dY/dt > 0, если коэффициент пропорциональности α положителен). Следовательно,

      a₁₁ > 0.

      Как видим, возмущение y из (24) увеличивается с течением времени. Последнее означает, что Y_ст является неустойчивым.

      Таким образом, в рамках рассмотренной модели стабильное получение прибыли государственной страховой фирмой возможно лишь в сильно консервативном обществе, когда возмущение, создаваемое конкуренцией на рынке, отсутствует.

      2.2.2. Модель частной страховой фирмы

      Характерной особенностью частной страховой фирмы является зависимость числа клиентов от времени. Следовательно, в этой модели число клиентов N необходимо учитывать в качестве переменной, которую обозначим как Y₁. Как и в предыдущем случае, прибыль страховой фирмы является переменной величиной, ее мы обозначим Y₂.

      2.2.2.1. Главные пропорции частной страховой фирмы можно сформулировать следующим образом.

      1. Прирост клиентов dY₁/dt пропорционален размеру получаемой прибыли Y₂ (средний клиент предпочитают иметь дело с более богатой фирмой), среднему в данном регионе доходу клиента D₀ и среднему в данном регионе количеству несчастных случаев Q (~Y₂D₀Q). Отрицательная составляющая пропорции обусловлена теми клиентами, которые по каким-то причинам отказались от услуг фирмы (математически количество таких клиентов составляет некоторую долю от общего числа клиентов, которая статистически тем больше, чем больше у фирмы клиентов), т. е. отрицательная составляющая ~Y₁.

      2. Прирост прибыли dY₂/dt пропорционален числу клиентов Y₁, а также той части прибыли Y₂, которую фирма вкладывает в доходные предприятия (~Y₁Y₂). Отрицательная составляющая представляет собой часть прироста прибыли, которую фирма не дополучила из-за выплат клиентам (~Q*).

      Заменив знак пропорции ~ на коэффициенты пропорциональности α, γ, µ и β, придем к следующей системе двух уравнений

      

      или

      

      где c = αD₀Q.

      Количество страховых выплат Q* найдем из (21) (напомним, что в данной модели в роли Y выступает Y₂, в роли N выступает Y₁):

      

      Подставим это выражение в (26)

      

(27)

      где введены обозначения σ = β/p; η = βs/p.

      Выражение (27) представляет собой систему эволюционных уравнений частной страховой фирмы (сравните с (П6)).

      2.2.2.2.