Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография. Виктор Иванович Шаповалов

значении угла θ должна совершать устойчивые колебания по типу предельного цикла (т. е. с постоянной амплитудой) [2].

      Нетрудно сообразить, что указанному закону удовлетворяет следующее выражение

      γ = γ₀ (θ² – 1),

      где γ₀ – коэффициент вязкости среды в отсутствие колебаний.

      Подставив это выражение вместо коэффициента вязкости в известное уравнение колебаний маятника в вязкой среде (см., например, (П15)), получим

      

(34)

      где τ – время; ω² = gK – квадрат циклической частоты колебаний; K – кривизна траектории маятника; g – ускорение свободного падения.

      Уравнение (34) называется уравнением Ван дер Поля, а система, которую оно описывает, – генератором Ван дер Поля [2].

      В безразмерном виде уравнение (35) имеет вид:

      

(35)

      где 

      2.3.2. Покажем, что устойчивым стационарным состоянием (аттрактором) генератора Ван дер Поля действительно является предельный цикл. С этой целью уравнение (35) приведем к виду эволюционного уравнения (см. (П6)):

      

      где Y₁ = φ; Y₂ = dφ/dt;

      F₁ = Y₂;

      F₂ = εY₂ – Y₁²Y₂ – Y₁. (36)

      Находим стационарное решение

      Y_1cm = Y_2ст = 0. (37)

      По формуле (П12) с учетом (36) находим коэффициенты линейного разложения

      а₁₁ = 0;

      а₁₂ = 1;

      а₂₁ = –2Y_1стY_2ст – 1;

      а₂₂ = ε – Y_21ст.

      По формулам (П22) находим

      B = ε – Y²_1ст;

      ∆ = 2Y_1стY_2ст + 1; (38)

      D = (ε – Y²_1ст)² – 4 ∆.

      Подставив стационарное решение (37) в (38), получим, что

      B > 0; ∆ > 0; D = ε² – 4. (39)

      2.3.3. Если ε достаточно мало, то D становится отрицательным, а распределение знаков в (39) соответствует неустойчивому фокусу (см. (П30)). В этом случае фазовая траектория в координатах Y₁ и Y₂ будет представлять собой спираль, раскручивающуюся из начала координат (см. рис. П5).

      Раскручивание спирали приводит к тому, что с течением времени увеличивается переменная Y₁, которую мы использовали для обозначения угловой величины φ из уравнения (35). Если величина φ вырастает настолько, что выполняется φ² > ε, то знак перед производной первого порядка в уравнении (35) становится положительным. Тогда в первом из уравнений (38) мы получим, что B = —ε (при Y_1cm = 0), т. е. B < 0. Учитывая, что ∆ > 0; D < 0, и сравнивая с выражением (П25), приходим к заключению о том, что в этом случае стационарное решение (37) является устойчивым фокусом. Фазовая траектория представляет собой спираль, сходящуюся к началу координат (см. рис. П2).

      Эволюционная диаграмма переменной Y₁ показана на рис. 4. Штриховой линией обозначены фазовые траектории в пространстве Y₁, Y₂. Огибающие этих траекторий выделены. Вид сечения эволюционной диаграммы в месте сшивки двух конусов в координатах Y₁ и Y₂ совпадает с предельным циклом. При этом очевидно, что радиус спирали с течением