Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография. Виктор Иванович Шаповалов

(30)

      

(31)

      

(32)

      

      

(33)

      1. Вначале проверим на устойчивость решение (28). Для этого его следует подставить в полученные выше выражения для а₂₁ и а₂₂. В результате найдем

      

      По формулам (П22) вычислим B, ∆ и D:

      

      Чтобы определить их знаки, проведем сравнительную оценку величин коэффициентов γ, σ, η и с.

      Коэффициент γ характеризует долю клиентов, решивших расторгнуть страховые отношения с данной фирмой (см. формулировку первой главной пропорции в 2.2.2.1). Если фирма не банкрот, то γ должна быть малой величиной.

      Напомним, что σ = β/p, при этом p – размер страховой выплаты клиенту, т. е. большая величина. Поэтому мы полагаем σ малой величиной.

      Так как η = s β/p, т. е. в s раз больше, чем σ, то η полагаем сравнительно большой величиной (напомним, что s >>1).

      Величина c также должна быть большой, так как этот коэффициент пропорционален доходу D₀ (D₀ > 1) и количеству несчастных случаев Q за некоторый период (Q >> 1).

      В результате получаем следующее распределение знаков:

      B > 0; ∆ < 0; D > 0.

      Такое сочетание знаков совпадает с (П32). В этом случае стационарное решение (28) соответствует седловой неустойчивости.

      Таким образом, решение (28) является неустойчивым.

      2. Проверим на устойчивость стационарное состояние (29). Для этого его стационарные значения Y_1ст и Y_2ст подставим в (32) и (33). В результате с учетом (30) и (31) найдем:

      a₁₁ = – γ; a₁₂ = c;

      a₂₁ = µY_2ст – η = 0 – η = – η;

      a₂₂ = µY_1ст + σ = 0 + σ = σ.

      По формулам (П22) вычислим B, ∆ и D:

      B = σ – γ, ∆ = ηc – σγ, D = (σ + γ)² – 4ηc.

      Выше мы уже установили, что γ и σ меньше, чем η и с. Это позволяет нам определить знаки только величин ∆ и D: ∆ > 0; D < 0. Для B возникают две ситуации.

      Ситуация 1: σ > γ. В этой ситуации большинство клиентов сохраняют верность фирме (γ уменьшается). При этом распределение знаков имеет вид

      B > 0; ∆ < 0; D > 0.

      Последнее совпадает с (П30), т. е. в данном случае решение (29) соответствует неустойчивому фокусу (см. рис. П5). Расширяющаяся спираль указывает на рост значений переменных Y₁ и Y₂ (числа клиентов и прибыли).

      Ситуация 2: σ < γ. Эта ситуация возникает, если фирма по каким-либо причинам теряет часть клиентов (γ увеличивается). Распределение знаков имеет вид

      B < 0; ∆ < 0; D > 0.

      Данное сочетание знаков совпадает с (П25), т. е. в данном случае решение (29) соответствует устойчивому фокусу (см. рис. П2). Сжимающаяся спираль указывает на уменьшение числа клиентов Y₁ и прибыли Y₂.

      На практике механизм перехода фирмы из одной ситуации в другую может выглядеть следующим образом.

      В ситуации 1 благодаря состоянию «неустойчивый фокус» (расширяющаяся спираль в пространстве координат Y₁ и Y₂) происходит рост числа клиентов и прибыли. По мере роста числа клиентов увеличивается и число страховых выплат. Наступает момент,