Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография
составим и решим характеристическое уравнение:
Чтобы определить принадлежность корней k 1,2 к действительным или комплексным числам, необходимо знать знак разности β2 – 4αγ. Для этого раскроем смысл постоянных коэффициентов α, γ и β.
Постоянная α появляется как коэффициент пропорциональности в уравнении (3), отвечающим за потенциальное действие рекламы. Отсюда смыл этого коэффициента заключается в том, что он обобщает собой условия, благоприятные для создания рекламы. Благоприятные потому, что, как видно из (3), чем больше значение α, тем больше a – потенциальное действие рекламы. В частности, α будет иметь малое значение в том обществе, в котором не используются современные рекламные технологии, и большое значение в противоположном случае.
Постоянная γ появляется как коэффициент пропорциональности в группе факторов F1. Чем больше значение γ, тем больше влияние F1 на а, и наоборот. Поэтому γ должна характеризовать степень доступности товара в данном регионе.
Постоянная β является коэффициентом пропорциональности в группе факторов F2. От ее значения зависит, как изменение дохода (dy/dt) среднего покупателя сказывается на восприятии им (покупателем) рекламы. Если β мало, то это означает, что изменение дохода мало влияет на величину F2. В частности, в странах с высоким уровнем жизни большинства граждан значение β должно быть достаточно малым.
Таким образом, в экономически развитых регионах α и γ должны иметь сравнительно большие значения, а β – малое. Поэтому β2 – 4αγ < 0, т. е. в выражении для k1,2 разность под корнем имеет отрицательный знак. Следовательно, k1,2 – комплексные:
где
Как видим, k1,2 соответствуют 4-му типу решения ОЛУ (см. Приложение, раздел П1.3). В этом случае решением уравнения (7) является выражение
y* = е– ηt (A1 cos δt + A2 sin δt), (9)
где A1 и A2 − константы интегрирования.
Частное решение y1 определим по виду правой части уравнения, в качестве которой в (5) выступает a/α. Последнее соответствует первому виду правой части НОЛУ (см. Приложение, раздел П1.4), а именно
f (t) = p (t) e γt. (10)
Действительно, для уравнения (5) функцию f (t) можно записать как
Сравнивая между собой (10) и (11), находим, что в нашей задаче
Напомним, что число, возведенное в степень, равно единице только в том случае, если степень равна нулю. Следовательно, γ = 0. Как видим, γ не совпадает с корнями характеристического уравнения k1,2. Поэтому для y1 выбираем первый тип решения (выбираем пункт 1.а из раздела П1.4 Приложения):
y1 = q(t) eγt = q(t)
(eγt = 1, см. (12)). Определим вид q (t). Для этого учтем, что: а) q (t) – многочлен той же степени, что и р (t); б) в нашем случае р (t) – многочлен нулевой степени:
Следовательно, и q(t) является многочленом нулевой степени, т. е. является постоянной величиной. Обозначим эту постоянную,